Гипотеза Даффина — Шаффера
Гипотеза Даффина — Шаффера — подтверждённая гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Ричардом Даффином и Альбетром Шеффером в 1941 году[1]: для всякой функции почти для всех (относительно меры Лебега) неравенство:
имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах () тогда и только тогда, когда:
- ,
где — функция Эйлера.
Полное доказательство дано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом[2].
История
правитьИз леммы Бореля — Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится.[3] Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.
Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина — Шеффера. В 1970 году Пал Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа такая, что для каждого целого числа или , или .[4][5] В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай .[6][7] Хейнс, Поллингтон и Велани в 2009 году ещё более усилили результат[8], гипотеза верна, если существует число , такое что ряд:
- .
В 1990 году был доказан многомерный аналог гипотезы[4][9][10].
В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина — Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина — Шеффера, которая априори слабее[11].
Полное доказательство опубликовано Кукулопулосом и Мейнардом в 2019 году[2].
Примечания
править- ↑ R. J.; Duffin. Khintchine's problem in metric diophantine approximation (англ.) // Duke Math. J.[англ.] : journal. — 1941. — Vol. 8, no. 2. — P. 243—255. — doi:10.1215/S0012-7094-41-00818-9.
- ↑ 1 2 D.; Koukoulopoulos. On the Duffin–Schaeffer conjecture (неопр.). — 2019. — arXiv:1907.04593.
- ↑ Harman (2002) p. 68
- ↑ 1 2 Montgomery, Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis (англ.). — 1994. — Vol. 84.
- ↑ Harman (1998) p. 27
- ↑ Department of Mathematics . (недоступная ссылка)
- ↑ Harman (1998) p. 28
- ↑ A. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
- ↑ A.D.; Pollington. The k dimensional Duffin–Schaeffer conjecture (англ.) // Mathematika[англ.] : journal. — 1990. — Vol. 37. — P. 190—200. — ISSN 0025-5793. — doi:10.1112/s0025579300012900.
- ↑ Harman (2002) p. 69
- ↑ Victor; Beresnevich. A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2006. — Vol. 164. — P. 971—992. — ISSN 0003-486X. — doi:10.4007/annals.2006.164.971. — arXiv:math/0412141.
Литература
править- Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). «One hundred years of normal numbers». In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
- Kevin Hartnett. New Proof Settles How to Approximate Numbers Like Pi // Quanta. — 2019. Архивировано 9 ноября 2024 года.