Эрдёш, Пал

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Эрдёш.

Пал Э́рдёш (венг. Erdős Pál; 26 марта 1913, Будапешт — 20 сентября 1996, Варшава) — венгерский математик, один из наиболее продуктивных математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984). Основатель премии Эрдёша.

Пал Эрдёш
венг. Erdős Pál
Дата рождения	26 марта 1913(1913-03-26)[…]
Место рождения	Будапешт, Австро-Венгерская империя
Дата смерти	20 сентября 1996(1996-09-20)[…] (83 года)
Место смерти	Варшава, Польша[…]
Страна	Венгрия
Род деятельности	математик
Научная сфера	математик
Место работы	Институт перспективных исследований Манчестерский университет Виктории Университет Пердью Университет Нотр-Дам Технион
Альма-матер	Будапештский университет
Учёная степень	доктор
Научный руководитель	Липот Фейер
Ученики	Джордж Перди, Александр Сойфер и Теренс Тао
Награды и премии	Премия Вольфа по математике (1983/84)
Цитаты в Викицитатнике
Медиафайлы на Викискладе

Количество написанных им научных статей, как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков (более 1400).

Биография

Родился в Будапеште (тогда Австро-Венгерская империя) и был старшим ребёнком в образованной еврейской семье. Его родители получили математическое образование и работали учителями. Мать — Анна (Йоханна) Вильгельм (1880—1971), родом из Поважска-Бистрицы, — некоторое время была директором школы (1919—1920), отец — Лайош Эрдёш (до политики мадьяризации имён — Энгландер, 1879—1942) — был призван в действующую армию в годы Первой мировой войны, попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в плену в Сибири.

Ещё в раннем детстве проявил выдающиеся математические способности, в четырёхлетнем возрасте перемножая в уме четырёхзначные числа. В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады. В 1930 году поступил в Будапештский университет. В возрасте 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана, гораздо более простое, чем ранее известные. Спустя 4 года после поступления в университет не только досрочно окончил обучение, но и защитил диссертацию. В Венгрии, как и в соседней Германии, набирал силу антисемитизм, поэтому в 1934 году принял приглашение переехать в Великобританию и занять должность в Манчестерском университете.

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований, затем перешёл в Пенсильванский университет. Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности; в результате после Международного конгресса математиков в Амстердаме (1954 год) ему запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион, где провёл более десяти лет.

В дальнейшем проводил жизнь в постоянных путешествиях по миру. Неутомимо работал до последнего дня. По отзывам друзей, учёный злоупотреблял крепким кофе и амфетаминами. Умер от сердечного приступа во время конференции в Польше, в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция. Похоронен вместе с отцом и сестрой в Будапеште на Еврейском кладбище на улице Козма.

Член Венгерской академии наук и Нидерландской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук (1974), иностранный член НАН США (1980) и Лондонского королевского общества (1989). Подписал «Предупреждение учёных человечеству» (1992).

Особенности характера

Начиная с конца 1930-х годов и до самой смерти стиль жизни Эрдёша можно охарактеризовать как «странствующий математик»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было около пяти сотен. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).

До конца жизни говорил по-английски с сильным венгерским акцентом до такой степени, что в любой части света венгры безошибочно определяли соотечественника, даже издалека услышав его английскую речь.

На вопрос журналиста, не слишком ли он пессимистичен, Эрдёш ответил, что в нашей судьбе пессимистично только одно: «Человек живёт недолго и надолго умирает».

Вклад

Ниже указаны лишь некоторые результаты Эрдёша.

Теория чисел

• Доказал, что существует такое число $c<1$, что для бесконечно многих простых чисел $p$ выполняется неравенство $p'-p<c\log p$, где $p'$— следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы $c>0$ существует бесконечно много простых чисел $p$, таких что

$p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}$.

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами.

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого $k$ выполнено $\sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}$.

Пусть зафиксировано некоторое произвольное $N$. Разобьём все числа меньшие $N$ на два класса - те, которые имеют простой делитель $p\geq k$ и те, у которых все простые делители меньше $k$.

Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной $\sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}$.

Каждое число из второго класса представимо в виде $a{b^{2}}$, где $a$ свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших $k$. Кроме того, очевидно, $b\leq {\sqrt {N}}$. Значит, таких чисел существует не более чем ${2^{k}}{\sqrt {N}}$.

Рассмотрев это рассуждение для числа $N>2^{2k+2}$ можно получить, что общее количество чисел меньших $N$ будет ${\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N$, что приводит к противоречию, так как каждое число меньше $N$, очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

• Доказал, что для $4\leq k<n$ и $l\geq 2$ уравнение $C_{n}^{k}=m^{l}$ не имеет решений в целых числах.
• В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений, а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей выпуклых множеств.

Комбинаторика

• Вероятностный метод

• Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

$(1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.$.

• Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на бесконечные множества.

• Теорема Эрдёша — Секереша: всякая последовательность различных вещественных чисел длины $(a-1)(b-1)+1$ содержит возрастающую подпоследовательность длины $a$ или убывающую длины $b$.

Геометрия

• Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра.
• Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
• Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений компонент связности выпуклой оболочки («карманов»).

Награды

• 1945 — Стипендия Гуггенхайма
• 1946 — Стипендия Гуггенхайма
• 1951 — Премия Коула по теории чисел
• 1957 — Премия имени Кошута
• 1983 — Государственная премия Венгрии
• 1983/84 — Премия Вольфа по математике
• 1991 — Золотая медаль Венгерской академии наук

См. также

• Список математических утверждений и объектов, названных в честь Эрдёша

Литература

• Руэ, Хуанхо. Вечный странник // Искусство подсчёта. Комбинаторика и перечисление (глава 3). — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 34). — ISBN 978-5-9774-0729-8.
• Мартин Айгнер, Гюнтер Циглер. Доказательства из книги. — М.: Мир, 2006. — 255 с. — ISBN 5-03-003690-3.

Ссылки

• Волков М. В. Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычайная математика // МИФ. — 1998—1999. — № 2.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Эрдёш, Пал (англ.) — биография в архиве MacTutor.
•  N — это число — документальный фильм об Эрдёше (1993), режиссёр — Джордж Пол Ксиксери