Внутренний автоморфизм

Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f(x) = a⁻¹xa.

Здесь мы используем соглашение, что элементы группы действуют справа.

Операция x ↦ a⁻¹xa называется сопряжением (см. также «Класс сопряжённости») и часто представляет интерес выделить случаи, когда сопряжение с помощью одного элемента оставляет неизменным другой элемент, от случая, когда сопряжение переводит элемент в другой элемент.

Фактически, утверждение, что сопряжение x элементом a оставляет x неизменным, эквивалентно утверждению, что a и x коммутируют:

a⁻¹xa = x ⇔ ax = xa.

Таким образом, существование и число внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественными, служит мерилом коммутативности в группе.

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда, когда он расширяется в любой группе, содержащей G.

Обозначения

Выражение a⁻¹xa часто записывается в виде степени x^a. Эта запись используется, поскольку выполняется правило (x^a)^b = x^ab.

Свойства

Любой внутренний автоморфизм является, конечно, автоморфизмом группы G, то есть биективным отображением из G в G. Он является также гомоморфизмом, что означает (xy)^a = x^ay^a.

Внутренний и внешний автоморфизмы групп

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом (как упоминалось выше — (x^a)^b = x^ab) и набор всех внутренних автоморфизмов группы G сам по себе тоже является группой (группой внутренних автоморфизмов группы G) и обозначается Inn(G).

Inn(G) является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов Aut(G) группы G. Группа внешних автоморфизмов Out(G) — это факторгруппа

Out(G) ≡ Aut(G)/Inn(G)

Группа внешних автоморфизмов отражает, в некотором смысле, сколь много автоморфизмов G являются внутренними. Любой невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент группы Out(G), но различные невнутренние автоморфизмы могут давать одинаковые элементы группы Out(G).

Связывая элемент a ∈ G с внутренним автоморфизмом f(x) = x^a в группе Inn(G) как выше, получаем изоморфизм между факторгруппами G/Z(G) (где Z(G) — центр группы G) и группой внутренних автоморфизмов:

G/Z(G) = Inn(G).

Это является следствием первой теоремы об изоморфизмах, поскольку Z(G) — это в точности множество тех элементов группы G, которые дают тождественное отображение, когда используются для создания внутреннего автоморфизма (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных p-групп

Результат Вольфганга Гащютца гласит, что если группа G конечна и является неабелевой p-группой, то G имеет автоморфизм порядка p в некоторой степени, не являющийся внутренним.

Открытой проблемой является вопрос, любая ли неабелева p-группа G имеет автоморфизм порядка p. Вопрос имеет положительный ответ, если G удовлетворяет одному из условий:

1. Группа G является нильпотентной класса 2
2. G является регулярной p-группой
3. G/Z(G) является мощной p-группой
4. Централизатор C_G группы G центра Z подгруппы Фраттини Φ группы G, C_G∘Z∘Φ(G) не равен Φ(G)

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов Inn(G) тривиальна (то есть состоит только из нейтрального элемента) тогда и только тогда, когда группа G абелева.

Легко показать, что Inn(G) может быть циклической группой, только когда она тривиальна.

Внутренние автоморфизмы могут составлять всю группу автоморфизмов. Группа, у которой все автоморфизмы являются внутренними, а центр тривиален, называется полной. Это выполняется для всех симметрических групп с n элементами, когда n не равно 2 или 6. Если n = 6, симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а при n = 2 симметрическая группа, хотя и не имеет внешних автоморфизмов, является абелевой, что даёт нетривиальный центр, а потому группа не может быть полной.

Пусть группа G совпадает со своим коммутантом (в англоязычной терминологии — совершенная группа). Если группа её внутренних автоморфизмов Inn(G) проста, то такая группа G называется квазипростой.

Случай кольца

Если задано кольцо R и единица u из R, отображение f(x) = u⁻¹xu является автоморфизмом кольца R. Автоморфизмы кольца такого вида называются внутренними автоморфизмами кольца R. Эти автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы автоморфизмов кольца R.

Случай алгебр Ли

Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Ad_g, где Ad является сопряжённым отображением, а g — элемент группы Ли, алгебра которого равна 𝔊. Обозначение внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с обозначением для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли порождает единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Литература

• A characterization of inner automorphisms // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1987. — Т. 101, вып. 2. — С. 226–228. — doi:10.2307/2045986. — .

Литература для дальнейшего чтения

• A. Abdollahi. Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology // J. Algebra. — 2010. — Т. 323. — С. 779—789. — doi:10.1016/j.jalgebra.2009.10.013.
• A. Abdollahi. Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p // J. Algebra. — 2007. — Т. 312. — С. 876—879. — doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036.
• M. Deaconescu, G. Silberberg. Noninner automorphisms of order p of finite p-groups // J. Algebra. — 2002. — Т. 250. — С. 283—287. — doi:10.1006/jabr.2001.9093.
• W. Gaschütz. Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen // J. Algebra. — 1966. — Т. 4. — С. 1—2. — doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7.
• H. Liebeck. Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2 // J. London Math. Soc.. — 1965. — Т. 40. — С. 268—275.
• В. Н. Ремесленников. Внутренний автоморфизм // Мат. Энциклопедия. — Москва, 1977. — Т. 1. — С. 724.