Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\pi (n)$ (количество простых чисел на отрезке $[1;n]$) растёт с увеличением $n$ как ${\frac {n}{\ln n}}$, то есть:

${\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1$, когда $n\to \infty .$

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до $n$ вероятность оказаться простым примерно равна ${\frac {1}{\ln n}}$.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения $k$-го простого числа $p_{k}$: она утверждает, что

$p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty$

(здесь и далее запись $f\sim g$ означает, что $f/g\to 1$ когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно

$\pi (n)=\operatorname {Li} (n)+O({\sqrt {n}}\ln n)$ при $n\rightarrow \infty .$

История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму». К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел $\pi (x)$ (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B}}$

где $B\approx 1{,}08366.$ Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx$

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций $\pi (x)$ и $x/\ln(x)$, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает, что верхний M и нижний m пределы отношения

${\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad$ (1)

заключены в пределах $0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и де ла Валле Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

$\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p,\qquad \qquad (*)$

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\,k\geq 1,\quad p\,{\text{is a prime}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

$\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .$

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка $[1,n]$, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы $\ln p$ примерно равны $\ln x$, и функция $\psi (x)$ асимптотически ведёт себя так же, как $\pi (x)\cdot \ln x$.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},$

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

$\sum _{n}\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.$

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции $a^{s}/s$ равен $2\pi i$ при $a>1$ и 0 при $0<a<1$. Поэтому, умножение правой и левой части на ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по $ds$ оставляет в левой части в точности сумму $\Lambda (n)$ с $n\leqslant x$. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке $s=1$ — полюс первого порядка с вычетом, равным $(-1)$.

Строгая реализация этой программы позволяет получить явную формула Римана:

$\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operatorname {Re} (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (**)$

Суммирование тут ведётся по нулям $\rho$ дзета-функции, лежащим в критической полосе $0<\operatorname {Re} (s)<1$, слагаемое $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}$ отвечает полюсу ${\frac {x^{s}}{s}}$ в нуле, а слагаемое $-\log(1-x^{-2})/2$ — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции $s=-2,-4,-6,\dots$.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение $\psi (x)\sim x$ (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем $x$). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения $\psi (x)$ от $x$, и, соответственно, на отклонения $\pi (x)$ от $x/\ln x$.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

$\ln n=\sum _{p,k:\,p^{k}|n}\ln p$

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

$\ln =\Lambda *\mathbf {1} ,$

где $\ln$ и $\mathbf {1}$ — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести $\mathbf {1}$ в правую часть:

$\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)$

где $\mu$ — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция $\psi$. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме $\sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),$ где $L$ — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать $L(n)$ как

$L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\right)$ для подходящим образом подобранной функции F (а именно, $F(x)=x-\gamma -1$), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

$\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).$

Поскольку $F(x)\sim x,$ остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид $o(x)$. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения $M(x)=o(x),$ где $M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$ — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции $1/n$.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

$\mu '=-\mu *\Lambda ,$

где $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$ — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

$\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').$

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ оценивается лучше асимптотики сумм $\Lambda$, позволяет оценивать отношение ${\frac {M(x)}{x}}$ через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку $M(x)=o(x)$.

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постулат Бертрана

Литература

Классические труды

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
• Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
• Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.