Функции Чебышёва

Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции $\theta (x)$ и $\psi (x)$, связанные с распределением простых чисел и определённые как

$\theta (x)=\sum \limits _{p\leqslant x}\ln p$

и

$\psi (x)=\sum \limits _{m\in \mathbb {N} }\sum \limits _{p^{m}\leqslant x}\ln p,$

где $p$ — простые числа, $m$ — натуральные числа.

Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым.

Свойства

• Определение пси-функции Чебышёва может быть записано через функцию Мангольдта: $\psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)$.
• Функции Чебышёва связаны соотношением $\psi (x)=\theta (x)+\theta ({\sqrt {x}})+\theta ({\sqrt[{3}]{x}})+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x}})$ (где только первые несколько слагаемых не равны нулю), откуда следует асимптотическое соотношение $\psi (x)=\theta (x)+O({\sqrt {x}})$.
• Потенцирование даёт: $e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} (1,2,...,[x])$, $e^{\theta (x)}=\prod \limits _{p\leqslant x}p$.

Связь с распределением простых чисел

• Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: $\psi (x)\sim \theta (x)\sim \pi (x)\ln x$.
• Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана:

$\psi (x)=x-\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}),$

где $\rho$ пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

• Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

$\psi (x)=x+O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}})$

А гипотеза Римана эквивалентна утверждению

$\psi (x)=x+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}x)$

См. также

• Постулат Бертрана

Литература

• Прахар, К. Распределение простых чисел = Primzahl Verteilung / пер. с нем. А. А. Карацупы. — М. : Мир, 1967. — 511 с.