Оператор углового момента

Опера́тор углово́го моме́нта — один из нескольких операторов в квантовой механике, выступающих аналогом классическому угловому моменту. Оператор углового момента играет центральную роль в атомной теории, молекулярной физике и других связанных с вращательной симметрией квантовых задачах. Этот оператор применяется для математического представления физического состояния системы и задаёт значение углового момента, если состояние имеет для него определённое значение. Как в классической, так и в квантовой механике угловой момент (вместе с линейным импульсом и энергией) является одним из трёх фундаментальных свойств движения.

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначается как J), орбитальный угловой момент (обычно обозначается как L) и спиновый угловой момент (для краткости спин, но обычно обозначается как S). Термин оператор углового момента может относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется согласно теореме Нётер.

Обзор

«Векторные конусы» полного углового момента J (зелёный), орбитального L (синий) и спина S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределённости между измеряемыми компонентами углового момента.

В квантовой механике угловой момент может относиться к одной из трёх связанных между собой величин.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,.$ Квантово-механические аналоги этого определения имеют те же отношения

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,,$

где r — квантовый оператор положения, p — квантовый оператор импульса, × обозначает векторное произведение, а L — оператор орбитального углового момента. L (точно так же, как p и r) является векторным оператором (вектором, компоненты которого являются операторами), то есть $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)\,,$ где L_x, L_y, L_z — три различных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в координатном базисе в виде

$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )\,,$

где ∇ — векторный дифференциальный оператор набла.

Спиновый угловой момент

Существует ещё один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина), представленный спиновым оператором $\mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)\,.$ Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на циркуляции энергии в электронной волне. Все элементарные частицы имеют характерный спин (скалярные бозоны имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (ниже).

Полный угловой момент

Наконец, можно ввести полный угловой момент $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)\,,$ который объединяет как спиновый, так и орбитальный угловые моменты частицы или системы

$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$

Сохранение углового момента утверждает, что J для замкнутой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако вклады L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться между L и S, сохраняя общее значение J постоянным.

Коммутационные соотношения

Коммутационные соотношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, что означает, что его можно записать в терминах его векторных компонентов. $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)\,.$ Компоненты подчиняются между собой следующим коммутационным соотношениям

$\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z}\,,\,\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x}\,,\,\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y}\,,$где [, ] обозначает коммутатор.

$[X,Y]\equiv XY-YX\,.$

В общем случае это можно записать как

$\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}\,,$где l, m, n — индексы компонент (1 для x, 2 для y, 3 для z), а ε_lmn обозначает символ Леви-Чивиты.

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения

$\mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} \,.$

Коммутационные соотношения можно доказать используя прямое следствие канонических коммутационных соотношений $[x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}\,,$ где δ_lm — дельта Кронекера.

Аналогичное соотношение существует и в классической физике

$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}\,,$

где L_n — компонента классического оператора углового момента, а $\{,\}$ обозначает скобку Пуассона.

Те же коммутационные соотношения применяются для других операторов углового момента (спина и полного углового момента)

$\left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}\,.$

Можно предположить, что они выполняются по аналогии с L. В качестве альтернативы они могут быть получены, как описано ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли, а ε_lmn являются её структурными константами. В этом случае алгеброй Ли является SU (2) или SO (3) в физических обозначениях ($\operatorname {su} (2)$ или $\operatorname {so} (3)$ соответственно в математической нотации), то есть алгебра Ли, связанная с вращениями в трёх измерениях. То же самое верно для J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения относятся к измерению и неопределённости, как обсуждается далее.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (колебательно-вращательного) углового момента N, спинового момента электрона S и ядерного спинового момента I. Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, а не N. Как доказал Ван Флек, компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к неподвижным осям молекулы, имеют коммутационные соотношения, отличные от приведённых выше, которые относятся к компонентам, связанным с осями, закреплёнными в пространстве.

Коммутационные соотношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента

$L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\,.$$L^{2}$

 — ещё один квантовый оператор. Он коммутирует с компонентами $\mathbf {L} \,,$

$\left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0\,.$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, состоит в том, чтобы начать с коммутационных соотношений [ L_ℓ, L_m ] в предыдущем разделе:

Доказательство [L², L_x] = 0, начиная с коммутационных соотношений [L_ℓ, L_m]

$${\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}$$

 

Математически, $L^{2}$ является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на $\mathbf {L}$.

Как и выше, аналогичное соотношение выполняется в классической физике

$\left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0\,,$

где $L_{i}$ — компонента классического оператора углового момента, и $\{,\}$ обозначает скобку Пуассона.

В квантовом случае, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спиновому и полному угловым моментам)

${\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0\,,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0\,.\end{aligned}}$

Принцип неопределённости

В квантовой механике, когда две наблюдаемые не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми. Две взаимодополняющие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределённости. Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть определена другая в тот же момент времени. Точно так же, как существует принцип неопределённости, касающийся координаты и импульса, существуют принципы неопределённости для компонент углового момента.

Соотношение Робертсона — Шредингера даёт следующий принцип неопределённости

$\sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|\,,$

где $\sigma _{X}$ — стандартное отклонение измеренных значений X и $\langle X\rangle$ обозначает ожидаемая величина для X. Это неравенство также верно, если x, y, z переставить местами или если L заменить на J или S.

Следовательно, две ортогональные составляющие углового момента (например, L_x и L_y) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как $L_{x}=L_{y}=L_{z}=0\,.$

Однако возможно одновременное измерение или определение оператора L² и любой компоненты L; например, L² и L_z, что часто бывает полезно. Их значения характеризуются азимутальным квантовым числом (l) и магнитным квантовым числом (m). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L² и L_z, но не L_x или L_y. Собственные значения связаны с l и m, как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется — то есть он не может принимать производные значения, а только дискретные между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы действуют следующие ограничения на результаты измерений, где $\hbar$ приведённая постоянная Планка:

Измеримая величина…	Принимаемые значения	Примечания
$L^{2}$	$\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$, где $\ell =0,1,2,\ldots$	$\ell$ называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом.
$L_{z}$	$\hbar m_{\ell }$, где $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell$	$m_{\ell }$ называют магнитным квантовым числом. Это же правило квантования справедливо для любого компонента $\mathbf {L}$; например, $L_{x}\,or\,L_{y}$. Это правило иногда называют «пространственным квантованием».
$S^{2}$	$\hbar ^{2}s(s+1)$, где $s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	s называется спиновым квантовым числом или просто спином. Например, частице со спином ½ соответствует s = ½.
$S_{z}$	$\hbar m_{s}$, где $m_{s}=-s,(-s+1),\ldots ,(s-1),s$	$m_{s}$ иногда называют «квантовым числом проекции спина». Это же правило квантования справедливо для любого компонента $\mathbf {S}$; например, $S_{x}\,or\,S_{y}$.
$J^{2}$	$\hbar ^{2}j(j+1)$, где $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	j называют квантовым числом полного углового момента.
$J_{z}$	$\hbar m_{j}$, где $m_{j}=-j,(-j+1),\ldots ,(j-1),j$	$m_{j}$ называют квантовым числом проекции полного углового момента. Это же правило квантования справедливо для любого компонента $\mathbf {J}$; например, $J_{x}\,or\,J_{y}$.

В этой стоячей волне на круглой струне окружность разбита ровно на 8 длин волн. Подобная стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн распределённых по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов

Для вывода правил квантования, описанных выше, распространённым способом является метод лестничных операторов. Лестничные операторы для полного углового момента $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$ определяются как

${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y}\,,\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\,.\end{aligned}}$

Предполагая, что $|\psi \rangle$ является одновременным собственным состоянием операторов $J^{2}$ и $J_{z}$ (то есть состоянием с определённым значением $J^{2}$ и определённое значением $J_{z}$). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонент $\mathbf {J}$, можно доказать, что каждое из состояний $J_{+}|\psi \rangle$ и $J_{-}|\psi \rangle$ является либо нулём, либо одновременным собственным состоянием $J^{2}$ и $J_{z}$, с тем же значением, что и $|\psi \rangle$ для $J^{2}$, но со значениями для $J_{z}$, которые увеличиваются или уменьшаются на $\hbar$ соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию со значением для $J_{z}$, то есть вне допустимого диапазона значений. Таким образом, используя лестничные операторы, можно найти возможные значения и квантовые числа для операторов $J^{2}$ и $J_{z}$.  

Вывод возможных значений и квантовых чисел для $J_{z}$ и $J^{2}$.

Пусть $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ будет функцией состояния для системы с собственным значением ${J^{2}}'$ для $J^{2}$ и собственным значением $J_{z}'$ для $J_{z}$.

Из $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ получается, $$J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}\,.$$ Применяя обе части приведённого выше уравнения к $\psi ({J^{2}}'J_{z}')\,,$ $$(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\,.$$ Поскольку $J_{x}$ и $J_{y}$ являются реальными наблюдаемыми, ${J^{2}}'-J_{z}'^{2}$ не является отрицательным и ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}\,.}$ Таким образом, $J_{z}'$ имеет верхнюю и нижнюю границы.

Два коммутационных соотношения для компонентов $\mathbf {J}$ таковы: $$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}\,.$$ Их можно объединить, чтобы получить два уравнения, которые записываются вместе с использованием знаков $\pm$ в следующем выражении: $$J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\,,$$ где в одном из уравнений используются знаки $+$, а в другом — знаки $-$. Применяя обе части вышеприведенного к $\psi ({J^{2}}'J_{z}')\,,$ $${\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;\,.\\\end{aligned}}$$ Вышеприведённое показывает, что $(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ являются двумя собственными функциями $J_{z}$ с соответствующими собственными значениями ${J_{z}}'\pm \hbar \,,$ если только одна из функций не равна нулю, и в этом случае она не является собственной функцией. Для функций, не равных нулю, $$\psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\,.$$ Дальнейшие собственные функции $J_{z}$ и соответствующие собственные значения могут быть найдены повторным применением $J_{x}\pm iJ_{y}$ до тех пор, пока величина результирующего собственного значения равна $\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}\,.$ Поскольку собственные значения $J_{z}$ ограничены, пусть $J_{z}^{0}$ будет наименьшим собственным значением, а $J_{z}^{1}$ — наибольшим. Затем $$(J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0$$ и $$(J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0\,,$$ поскольку нет состояний, в которых собственное значение $J_{z}$ равно $<J_{z}^{0}$ или $>J_{z}^{1}\,.$ Применяя $(J_{x}+iJ_{y})$ к первому уравнению, $(J_{x}-iJ_{y})$ ко второму и используя $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}\,,$ можно показать, что $${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$$ и $${J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0\,.$$ Вычитая первое уравнение из второго и переставляя, $$(J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0\,.$$ Поскольку $J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}\,,$ то второй множитель отрицательный. Тогда первый множитель должен быть равен нулю и, таким образом, $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}\,.$

Разница $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}$ происходит от последовательного применения $J_{x}-iJ_{y}$ или $J_{x}+iJ_{y}\,,$ которые понижают или повышают собственное значение $J_{z}$ на $\hbar \,,$ так что, $$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots$$ Пусть $$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar \,,$$ где $$j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.$$ Затем, используя $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ и приведенное выше, $$J_{z}^{0}=-j\hbar$$ и $$J_{z}^{1}=j\hbar \,,$$ а допустимые собственные значения $J_{z}$ равны $$J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar \,.$$ Выражая $J_{z}'$ через квантовое число $m_{j}\;$ и подставляя $J_{z}^{0}=-j\hbar$ в ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ из приведенного выше,

${\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}$

Поскольку $\mathbf {S}$ и $\mathbf {L}$ подчиняется тем же коммутационным соотношениям, что и $\mathbf {J}$, то к ним можно применить тот же лестничный анализ, за исключением того, что для $\mathbf {L}$ существует ещё одно ограничение на квантовые числа: они должны быть целыми числами.

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели для орбитального углового момента.

Операторы угловых моментов нельзя изобразить в виде векторов, как в классической механике. Тем не менее, принято эвристически изображать их следующим образом. Справа изображён набор состояний с квантовыми числами $\ell =2$, и $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2$ для пяти конусов снизу вверх. При $|L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}$, все векторы показаны с длиной $\hbar {\sqrt {6}}$. Кольца означают, что $L_{z}$ известно точно, но $L_{x}$ и $L_{y}$ неизвестны; поэтому каждый классический вектор с соответствующей длиной и z-компонентой изображается в виде конуса. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом квантовыми числами $\ell$ и $m_{\ell }$ может находиться где-то на этом конусе, в то время как для отдельной системы их нельзя определить (поскольку компоненты $L$ не пересекаются друг с другом).

Квантование в макроскопических системах

Считается, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако ожидаемый эффект чрезвычайно мал. Например, если $L_{z}/\hbar$ составляет примерно 100000000, по существу не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000,2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента как генератора вращения. Если обозначить оператором вращения как $R({\hat {n}},\phi )$, который вращает любое квантовое состояние вокруг оси ${\hat {n}}$ на угол $\phi$, то при $\phi \rightarrow 0$ оператор $R({\hat {n}},\phi )$ приближается к тождественному оператору, потому что поворот на 0° отображает все состояния в самих себя. Тогда оператор углового момента $J_{\hat {n}}$ вокруг оси ${\hat {n}}$ определяется как

$J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}\,,$

где 1 — тождественный оператор. Здесь R является аддитивным морфизмом: $R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)$; как следствие

$R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)\,,$

где exp — матричная экспонента.

Оператор полного углового момента характеризует, как квантовая система изменяется при её вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов вращения . Верхний прямоугольник показывает две частицы со спиновыми состояниями, схематически обозначенными стрелками.

1. Оператор R, связанный с J, вращает всю систему.
2. Оператор R_spatial, связанный с L, вращает положения частиц без изменения их внутренних спиновых состояний.
3. Оператор R_internal, связанный с S, вращает внутренние спиновые состояния частиц, не изменяя их положения.

Точно так же, как J является генератором для операторов вращения, L и S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

$R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)$

вращает положение (в координатном пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние какой-либо частицы. Аналогично, оператор

$R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)$

вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не изменяя положение частиц или полей в пространстве. Соотношение J = L + S следует из

$R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)\,,$

то есть если координатная система повернута, а затем повёрнуты внутренние состояния, то в целом вся система также повёрнута.

SU(2), SO(3) и повороты на 360°

Хотя можно было бы ожидать $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1$ (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым (1/2, 3/2, и так далее), $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1$, а когда это целое число, $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$. Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) группой трёхмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2), которая идентична SO(3) для небольших поворотов, но где поворот на 360° математически отличается от поворота на 0°. Поворот на 720° аналогичен повороту на 0°.

С другой стороны, $R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$ при любых обстоятельствах, потому что вращение пространственной конфигурации на 360° равносильно полному отсутствию вращения. Это отличается от вращения на 360° внутреннего (спинового) состояния частицы, которое может быть, а может и не совпадать с полным отсутствием вращения. Другими словами, $R_{\text{spatial}}$ операторы имеют структуру SO(3), а $R$ и $R_{\text{internal}}$ несут структуру SU(2).

Из уравнения $+1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)$, можно выбрать собственное состояние $L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle$ и соответственно

$e^{-2\pi im}=1\,,$

то есть квантовые числа орбитального углового момента могут принимать только целые, а не полуцелые значения.

Связь с теорией представлений

Начиная с определённого квантового состояния $|\psi _{0}\rangle$, рассмотрим множество состояний $R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle$ для всех возможных ${\hat {n}}$ и $\phi$, то есть множество состояний, возникающих при вращении начального состояния всеми возможными способами. Линейные комбинации этого набора задают собой векторное пространство, и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они формируют представление группы Ли SU (2) (для R и R_internal) или SO (3) (для R_spatial).

Из связи между J и операторами вращения

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли. ${\mathfrak {su}}(2)$ или ${\mathfrak {so}}(3)$.

Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.

Приведённый выше вывод на основе лестничных операторов — это метод классификации представлений алгебры Ли SU(2).

Связь с коммутационными соотношениями

Классические повороты не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси x, а затем на 1° вокруг оси y даёт несколько иной общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси y, а затем на 1° вокруг оси x. Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения для операторов углового момента.

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет собой энергию системы и определяет её динамику. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений

$RHR^{-1}=H\,,$

где R — оператор вращения. Как следствие, $[H,R]=0$, а потом $[H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0}$ из-за соотношения между операторами J и R. По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется, что следует из теоремы Нётер.

Если H является просто гамильтонианом для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (то есть когда функция потенциальной энергии зависит только от $\left|\mathbf {r} \right|$). В качестве альтернативы H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда вращательно-инвариантен, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L, поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S и обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Взаимодействие угловых моментов

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S, но сохраняется только полный угловой момент J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J₁ и J₂, но сохраняется только суммарный угловой момент J = J₁ + J₂.

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь, с одной стороны, между состояниями, в которых $\left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}$ имеют определённые значения, а с другой стороны, состояниями, в которых $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$ имеют определённые значения, так как последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базисами заключается в использовании коэффициентов Клебша — Гордана.

Из них следует одним из важных результатов, что связь между квантовыми числами для $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}$ задаётся в виде

$j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}\,.$

Для атома или молекулы с J = L + S спектральный терм даёт квантовые числа, связанные с операторами $L^{2},S^{2},J^{2}$.

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах. Угловой момент в пространственном представлении равен

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\,.\end{aligned}}$

В сферических координатах угловую часть оператора Лапласа можно выразить угловым моментом. Это приводит к соотношению

$\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}\,.$При решении найти собственные состояния оператора $L^{2}$, получается следующее выражение

${\begin{aligned}L^{2}|l,m\rangle &=\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle \,,\\L_{z}|l,m\rangle &=\hbar m|l,m\rangle \,,\end{aligned}}$

где

$\left\langle \theta ,\phi |l,m\right\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )$- сферические гармоники.

Литература

• Condon, E. U.; Shortley, G. H. Chapter III: Angular Momentum // Quantum Theory of Atomic Spectra. — Cambridge University Press, 1935. — ISBN 978-0521092098.