Экспонента матрицы

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы $X$ размера $n\times n$ экспонента от $X$ , обозначаемая как $e^{X}$ или $\exp(X)$ , — это матрица $n\times n$ , определяемая степенным рядом:

e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}

,

где $X^{k}$ — k-я степень матрицы $X$ . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от $X$ всегда корректно определена.

Если $X$ — матрица размера $1\times 1$ , то матричная экспонента от $X$ есть матрица размерности $1\times 1$ , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента $X$ .

Свойства

Основные свойства

Для комплексных матриц $X$ и $Y$ размера $n\times n$ , произвольных комплексных чисел $a$ и $b$ , единичной матрицы $E$ и нулевой матрицы $0$ , экспонента обладает следующим свойствами:

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
если $XY=YX$ , то $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$ ;
если $Y$ — невырожденная матрица, то $\exp(YXY^{-1})=Y\exp(X)Y^{-1}$ .
$\exp X^{\mathrm {T} }=(\exp X)^{\mathrm {T} }$ , где $X^{\mathrm {T} }$ обозначает транспонированную матрицу для $X$ , отсюда следует, что если $X$ является симметричной, то $\exp X$ тоже симметрична, а если $X$ — кососимметричная матрица, то $\exp X$ — ортогональная;
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , где $X^{*}$ обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для $X$ , отсюда следует, что если $X$ — эрмитова матрица, то $\exp X$ тоже эрмитова, а если $X$ — антиэрмитова матрица, то $\exp X$ — унитарная
$\det(\exp X)=\exp(\operatorname {tr} X)$ , где $\operatorname {tr} X$ — след матрицы $X$ .

Системы линейных дифференциальных уравнений

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений^[1]. Решение системы:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

,

где $A$ — постоянная матрица, даётся выражением:

y(t)=e^{At}y_{0}.

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

.

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

,

где $A$ — не постоянная, но разложение Магнуса^[англ.] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Экспонента суммы

Для любых двух вещественных чисел (скаляров) $x$ и $y$ экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению $e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}$ , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы $X$ и $Y$ коммутируют (то есть $XY=YX$ ), то $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ . Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления $\exp(X+Y)$ используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ не следует, что $X$ и $Y$ коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Неравенство Голдена — Томпсона

Если $A$ и $H$ — эрмитовы матрицы, то^[2]:

\operatorname {tr} \exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(H))

,

Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а $\operatorname {tr} (\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц $A$ , $B$ и $C$ .

Теорема Либа

Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа^[англ.], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы $H$ , функция:

f(A)=\operatorname {tr} \,\exp \left(H+\log A\right)

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц^[3].

Экспоненциальное отображение

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к $\exp X$ матрица равна $\exp(-X)$ , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

из пространства всех матриц размерности $n\times n$ на полную линейную группу порядка $n$ , то есть группу всех невырожденных матриц размерности $n\times n$ . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ , а не вещественных чисел $\mathbb {R}$ ).

Для любых двух матриц $X$ и $Y$ имеет место неравенство

\|e^{X+Y}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}

,

где $\|\cdot \|$ обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах $M_{n}(\mathbb {C} )$ .

Отображение:

t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при $t=0$ .

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Пример однородной системы

Для системы:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix}}

её матрица есть:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Можно показать, что экспонента от матрицы $tA$ есть

e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)&-2te^{2t}&e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)&2te^{2t}&e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~,

таким образом, общее решение этой системы есть:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~.

Пример неоднородной системы

Для решения неоднородной системы:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}

вводятся обозначения:

A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

и

\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}

\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}

\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}(2e^{u}-2ue^{2u})\\\\e^{2u}(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u})\\\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}

\mathbf {y} _{p}=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

где $\mathbf {c} =\mathbf {y} _{p}(0)$ — начальное условие.

Обобщение: вариация произвольной постоянной

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: $\mathbf {y} _{p}(t)=\exp(tA)\mathbf {z} (t)$ :

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}

Чтобы $\mathbf {y} _{p}$ было решением, должно иметь место следующее:

{\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}

Таким образом:

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&{}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&{}=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \end{aligned}}~,

где $\mathbf {c}$ определяется из начальных условий задачи.

См. также

Тригонометрические функции от матрицы

Примечания

↑ Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.
↑ Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.
↑ E. H. Lieb. Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (англ.) // Adv. Math. : journal. — 1973. — Vol. 11, no. 3. — P. 267—288. — doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.

Ссылки

Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential», MathWorld
Module for the Matrix Exponential

[1] Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.

[2] Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.

[3] E. H. Lieb. Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (англ.) // Adv. Math. : journal. — 1973. — Vol. 11, no. 3. — P. 267—288. — doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.

[1]

[2]

[3]