Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для из следующего равенства

здесь , и — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от , .

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

править

Существует несколько вариантов для записи  . Если представить   в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

 

где " " содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для   дается формулой Дынкина [1]:

  =  

здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям   и  , и приняты следующие обозначения:

 

Примечания

править
  1. N. Jacobson. Enveloping Algebras of Semi-Simple Lie Algebras // Nathan Jacobson Collected Mathematical Papers. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1989. — С. 77–86. — ISBN 9781461282150, 9781461236948.