Существует несколько вариантов для записи
Z
{\displaystyle Z}
. Если представить
Z
{\displaystyle Z}
в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:
Z
(
X
,
Y
)
=
log
(
exp
X
exp
Y
)
=
=
X
+
Y
+
1
2
[
X
,
Y
]
+
1
12
(
[
X
,
[
X
,
Y
]
]
+
[
Y
,
[
Y
,
X
]
]
)
−
−
1
24
[
Y
,
[
X
,
[
X
,
Y
]
]
]
−
−
1
720
(
[
Y
,
[
Y
,
[
Y
,
[
Y
,
X
]
]
]
]
+
[
X
,
[
X
,
[
X
,
[
X
,
Y
]
]
]
]
)
+
+
1
360
(
[
X
,
[
Y
,
[
Y
,
[
Y
,
X
]
]
]
]
+
[
Y
,
[
X
,
[
X
,
[
X
,
Y
]
]
]
]
)
+
+
1
120
(
[
Y
,
[
X
,
[
Y
,
[
X
,
Y
]
]
]
]
+
[
X
,
[
Y
,
[
X
,
[
Y
,
X
]
]
]
]
)
+
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)=\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)-\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)+\\&{}\quad +\cdots \end{aligned}}}
где "
⋯
{\displaystyle \cdots }
" содержит слагаемые более высоких порядков.
Наиболее общее выражение для
Z
{\displaystyle Z}
дается формулой Дынкина [ 1] :
Z
{\displaystyle Z}
=
log
(
exp
X
exp
Y
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
∑
r
1
+
s
1
>
0
⋮
r
n
+
s
n
>
0
[
X
r
1
Y
s
1
X
r
2
Y
s
2
⋯
X
r
n
Y
s
n
]
(
∑
j
=
1
n
(
r
j
+
s
j
)
)
⋅
∏
i
=
1
n
r
i
!
s
i
!
,
{\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}
здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям
s
i
{\displaystyle s_{i}}
и
r
i
{\displaystyle r_{i}}
, и приняты следующие обозначения:
[
X
r
1
Y
s
1
⋯
X
r
n
Y
s
n
]
=
[
X
,
[
X
,
⋯
[
X
⏟
r
1
,
[
Y
,
[
Y
,
⋯
[
Y
⏟
s
1
,
⋯
[
X
,
[
X
,
⋯
[
X
⏟
r
n
,
[
Y
,
[
Y
,
⋯
Y
⏟
s
n
]
]
⋯
]
]
.
{\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].}