Кососимметричная матрица

Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица $A$ над полем $k$ характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

$A^{T}=-A,$

где $A^{T}$ — транспонированная матрица.

Для $n\times n$ матрицы $A$ это соотношение эквивалентно:

$a_{i,j}={}-a_{j,i}$ для всех $i,j=1,2,\ldots ,n$,

где $a_{i,j}$ — элемент $i$-ой строки и $j$-го столбца матрицы $A$.

Свойства

• Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
• Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
• Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
• Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми недиагональными блоками и диагональными блоками $2\times 2$ вида

${\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}$.

• Множество всех кососимметрических матриц порядка $n$ над полем $k$ образует алгебру Ли над $k$ относительно сложения матриц и коммутирования:

$[A,B]=AB-BA$.

См. также

• Пфаффиан