Многообразие

Многообра́зие (топологическое многообразие) — локально евклидово пространство.

Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например, карту полушария, но невозможно составить единую (плоскую и без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс гладких функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени.

Определения

$n$-мерное топологическое многообразие без края — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $\mathbb {R} ^{n}$, то есть $n$-мерному евклидову пространству.

$n$-мерное топологическое многообразие^{[уточнить]} — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству замкнутого полупространства в $\mathbb {R} ^{n}$ (считаем открытыми также объединения открытых подмножеств с пересечением их границы и граничной гиперплоскости).

• Точки, которые имеют открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $\mathbb {R} ^{n}$, называются внутренними, а множество всех таких точек — внутренность многообразия (это всегда непустое множество).

• Дополнение к внутренности называется краем, это — $(n-1)$-мерное многообразие без края.

Особенности определения

• Условие счётности базы эквивалентно тому, что многообразие вкладывается в евклидово пространство конечной размерности (то, что такое вложение существует, подтверждает теорема Уитни о вложении).
• Иногда вместо условия счётности базы используется более слабое условие паракомпактности пространства.
• Введённое здесь понятие края вовсе не равносильно понятию относительной границы в общей топологии.
• Требование хаусдорфовости может показаться излишним; пример пространства, которое локально гомеоморфно евклидовому, но при этом не хаусдорфово, можно построить склеиванием двух копий вещественной прямой по всем точкам, кроме одной.

Гладкие многообразия

Основная статья: Дифференцируемое многообразие

Гладкая структура, определённая ниже, обычно возникает в почти всех приложениях и при этом делает многообразие гораздо удобней в работе.

Для топологического многообразия $M$ без границы картой называется гомеоморфизм $\varphi$ из открытого множества $U\subset M$ на открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$. Набор карт, покрывающих всё $M$, называется атласом.

Если две карты $\varphi$ и $\psi$ накрывают одну точку в $M$, то их композиция $\varphi \circ \psi ^{-1}$ задаёт отображение «склейки» из открытого множества $\mathbb {R} ^{n}$ в открытое множество $\mathbb {R} ^{n}$. Если все отображения склейки из класса $C^{k}$ (то есть $k$ раз непрерывно дифференцируемых функций), то атлас называется $C^{k}$ атласом (можно также рассматривать $k=\infty$ или $\omega$, что соответствует бесконечно дифференцируемым и аналитическим склейкам).

Пример: сфера может быть покрыта $C^{\infty }$-атласом из двух карт на дополнениях северного и южного полюсов со стереографическими проекциями по отношению к этим полюсам.

Два $C^{k}$ атласа задают одну $C^{k}$-гладкую структуру, если их объединение является $C^{k}$-атласом.

Для таких многообразий можно ввести понятия касательного вектора, касательного и кокасательного пространств и расслоений.

Для заданной $C^{1}$-гладкой структуры можно найти $C^{\infty }$-гладкую структуру, задаваемую новым $C^{\infty }$-атласом, который задаёт ту же $C^{1}$-гладкую структуру. Более того, все такие полученные таким образом многообразия являются $C^{\infty }$-диффеоморфными. Поэтому часто под гладкой структурой понимают $C^{1}$-гладкую структуру.

Не каждое топологическое многообразие допускает гладкую структуру. Примеры таких «шершавых» многообразий появляются уже в размерности четыре. Также существуют примеры топологических многообразий, которые допускают несколько различных гладких структур. Первый такой пример нестандартной гладкой структуры, так называемая сфера Милнора, был построен Милнором на семимерной сфере.

Примеры

• Простейший пример многообразия — это пространства $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
• Окружность — это многообразие размерности 1. Вообще любой несамопересекающийся контур можно рассматривать как одномерное многообразие. Отметим, что для негладкого контура соответствующее отображение вложения в $\mathbb {R} ^{n}$ не будет отображением гладких многообразий.
• Диск — это многообразие с краем.
• Любая двумерная поверхность без края является примером двумерного многообразия (сфера, тор, крендель, …). По известной топологической классификационной теореме, любое ориентируемое двумерное многообразие имеет вид сферы с несколькими приклеенными ручками.
• Лента Мёбиуса — это пример двумерного неориентируемого многообразия с краем. Пример неориентируемого двумерного многообразия без края — проективная плоскость (многообразие прямых в $\mathbb {R} ^{3}$). Отметим, что его невозможно вложить в $\mathbb {R} ^{3}$.
• Все указанные выше примеры многообразий можно наделить единственным образом гладкой структурой. В более высоких размерностях возможны, однако, разные гладкие структуры на одном и том же топологическом многообразии.
• Нетривиальные примеры многообразий любой размерности — проективные пространства $\mathbb {R} P^{n}$ (многообразие прямых в $\mathbb {R} ^{n+1}$) и грассмановы многообразия $\mathrm {Gr} (k,n)$ (многообразие $k$-мерных подпространств в $\mathbb {R} ^{n}$).

Типы многообразий

• Замкнутое многообразие — компактное связное многообразие без края. Примеры: окружность, сфера, тор, бутылка Клейна.
• Открытое многообразие — некомпактное связное многообразие без края. Примеры: Евклидово пространство.

Классификация многообразий

Каждое связное одномерное многообразие без границы гомеоморфно вещественной прямой или окружности.

Гомеоморфный класс замкнутой связной поверхности задаётся её эйлеровой характеристикой и ориентируемостью (если поверхность ориентируема, то это сфера с ручками, если нет, то связная сумма нескольких копий проективной плоскости).

Классификация замкнутых трёхмерных многообразий следует из гипотезы Тёрстона, которая была недавно доказана Перельманом.

Если размерность больше трёх, то классификация невозможна; более того, невозможно построить алгоритм, который определяет, является ли многообразие односвязным. Тем не менее, существует классификация всех односвязных многообразий во всех размерностях ≥ 5.

Можно также классифицировать гладкие многообразия.

• В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных многообразий является также диффеоморфной.
• В размерности 4 существуют примеры замкнутых многообразий, которые допускают бесконечное число неэквивалентных гладких структур, а открытые многообразия, как, например, $\mathbb {R} ^{4}$, допускают континуум различных гладких структур.
• В размерностях 5 и выше любое топологическое многообразие допускает не более чем конечное число неэквивалентных гладких структур.

Дополнительные структуры

Часто гладкие многообразия оснащают дополнительными структурами. Вот список наиболее часто встречаемых дополнительных структур:

• Метрический тензор
• Симплектическая форма
• Комплексная структура

Вариации и обобщения

• Орбиобразие
• Псевдомногообразие

См. также

• Алгебраическое многообразие
• Граф-многообразие

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.