Касательное пространство

Касательное пространство к гладкому многообразию $M$ в точке $x$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к $M$ в точке $x$ обычно обозначается $T_{x}M$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто $T_{x}$ .

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке $p$ к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентности гладких кривых

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $p\in M$ . Рассмотрим класс $\Gamma _{p}$ гладких кривых $\gamma \colon \mathbb {I} \to M$ таких, что $\gamma (0)=p$ . Введём на $\Gamma _{p}$ отношение эквивалентности: $\gamma _{1}\sim \gamma _{2}$ если

|\gamma _{1}(t)-\gamma _{2}(t)|=o(t),t\to 0

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$ .

Элементы касательного пространства $T_{p}$ определяются как $\sim$ -классы эквивалентности $\Gamma _{p}$ ; то есть

T_{p}=\Gamma _{p}/\sim

.

В карте такой, что $p$ соответствует началу координат, кривые из $\Gamma _{p}$ можно складывать и умножать на число следующим образом

(\gamma _{1}+\gamma _{2})(t)=\gamma _{1}(t)+\gamma _{2}(t)

(k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)

При этом результат остаётся в $\Gamma _{p}$ .

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности $T_{p}=\Gamma _{p}/\sim$ . Более того, индуцированные на $T_{p}$ операции уже не зависят от выбора карты. Так на $T_{p}$ определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть $M$ — $C^{\infty }$ -гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию $M$ в точке $p\in M$ называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов $X,$ сопоставляющих каждой гладкой функции $f:M\to \mathbb {R}$ число $Xf,$ и удовлетворяющих следующим двум условиям:

$\mathbb {R}$ -линейность: $X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\;\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,f,h\in C^{\infty }(M)$
правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),\;f,h\in C^{\infty }(M).$

На множестве всех дифференцирований в точке $p$ возникает естественная структура линейного пространства:

$(X+Y)f=Xf+Yf;$

$(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Замечания

В случае $C^{k}$ -гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
$Xf=0$ если $f(q)=o(|p-q|)$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей

p

.

В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

Пусть $\gamma \in \Gamma _{p}$ . Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для $Xf=(f\circ \gamma )'(0)$ . Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

Свойства

Касательное пространство $n$ -мерного гладкого многообразия является $n$ -мерным векторным пространством
Для выбранной локальной карты $x_{1},\dots ,x_{n}$ , операторы $X_{i}$ дифференцирования по $x_{i}$ :
$X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$

представляют собой базис

T_{p}

, называемый голономным базисом.

Связанные определения

Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения

Алгебраическое касательное пространство

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для $C^{k}$ -дифференцируемых многообразий, $k<\infty$ ). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть $M$ — $C^{k}$ -дифференцируемое многообразие, $C^{k}(M)$ — кольцо дифференцируемых функций из $M$ в $\mathbb {R}$ . Рассмотрим кольцо $C_{x}^{k}$ ростков функций в точке $x\in M$ и каноническую проекцию $[-]_{x}:C^{k}(M)\to C_{x}^{k}$ . Обозначим через ${\mathfrak {m}}_{x}$ ядро гомоморфизма колец $[f]_{x}\mapsto f(x)$ . Введем на $C_{x}^{k}$ структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма $i:\mathbb {R} \to C_{x}^{k}$ , $i(a)=[\mathrm {const} _{a}]_{x}$ и будем далее отождествлять $\mathbb {R}$ и $i(\mathbb {R} )$ . Имеет место равенство $C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ ^[1]. Обозначим через $C_{x,0}^{k}$ подалгебру $C_{x}^{k}$ , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке $x$ в каждой карте; обозначим $C_{x,d}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ . Заметим, что $C_{x,d}^{k}\subset C_{x,0}^{k}$ .

Рассмотрим два векторных пространства:

$T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{x,0}^{k})^{*}$ — это пространство имеет размерность $\operatorname {dim} M$ и совпадает с определённым ранее касательным пространством к $M$ в точке $x$ ,
$(C_{x}^{k}/C_{x,d}^{k})^{*}\cong ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ — это пространство изоморфно пространству дифференцирований $C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ со значениями в $\mathbb {R} \subset C_{x}^{k}$ , его называют алгебраическим касательным пространством^[2] $M$ в точке $x$ .

Если $k<\infty$ , то ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ имеет размерность континуум, а $({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ содержит $T_{x}M$ как нетривиальное подпространство; в случае $k=\infty$ или $k=\omega$ эти пространства совпадают (и $C_{x,0}^{k}=C_{x,d}^{k}$ )^[3]. В обоих случаях $T_{x}M$ можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований $C_{x}^{k}$ со значениями в $\mathbb {R}$ , для вектора $X\in T_{x}M$ формула $X(f)=X([f]_{x})$ задаёт инъективный гомоморфизм $T_{x}M$ в пространство дифференцирований $C^{k}(M)$ со значениями в $\mathbb {R}$ (структура вещественной алгебры на $C^{k}(M)$ задается аналогично $C_{x}^{k}$ ). При этом в случае $k=\infty$ получается в точности определение, данное выше.

См. также

Примечания

↑ Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
↑ Laird E. Taylor, The Tangent Space to a $C^{k}$ Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.

[1] Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.

[2] Laird E. Taylor, The Tangent Space to a $C^{k}$ Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.

[3] JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.

[1]

[2]

[3]