Касательное расслоение

Касательное расслоение гладкого многообразия $M$ — векторное расслоение над $M$ , слой которого в точке $x\in M$ является касательным пространством $T_{x}M$ в точке $x$ . Касательное расслоение обычно обозначается $TM$ .

Элемент тотального пространства $TM$ — это пара $(x,\;v)$ , где $x\in M$ и $v\in T_{x}M$ . Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность $TM$ равна удвоенной размерности $M$ .

Топология и гладкая структура

Если $M$ — $n$ -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ , где $U_{\alpha }$ — открытое подмножество $M$ и

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}

— гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на $U$ порождают изоморфизм между $T_{x}M$ и $\mathbb {R} ^{n}$ для любого $x\in U$ . Можно определить отображение

{\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}

как

{\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на $TM$ .

Подмножество $A$ из $TM$ открыто тогда и только тогда, когда ${\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))$ — открытое в $\mathbb {R} ^{2n}$ для любого $\alpha$ . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств $TM$ и $\mathbb {R} ^{2n}$ , поэтому они образуют карты гладкой структуры на $TM$ . Функции перехода на пересечениях карт $\pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{2n}$ .

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение $n$ -мерного многообразия $M$ можно определить как векторное расслоение ранга $n$ над $M$ , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры

Простейший пример получается для $\mathbb {R} ^{n}$ . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции $\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}$ .
Единичная окружность $S^{1}$ . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно $S^{1}\times \mathbb {R}$ . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере $S^{2},$ это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой $R$ и единичной окружности $S^{1}$ , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-мерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии $M$ , значение которой в каждой точке — вектор, касательный к $M$ , то есть гладкое отображение

V\colon M\to TM

такое, что образ $x$ , обозначаемый $V_{x}$ , лежит в $T_{x}M$ — касательном пространстве в точке $x$ . На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на $M$ — это сечение касательного расслоения над $M$ .

Множество всех векторных полей над $M$ обозначается $\Gamma (TM)$ . Векторные поля можно складывать поточечно:

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

и умножать на гладкие функции на $M$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей $\Gamma (TM)$ получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на $M$ (обозначается $C^{\infty }(M)$ ).

Если $f$ есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля $X$ даёт новую гладкую функцию $Xf$ . Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

Аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh$ .
Правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$ .

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на $M$ — это локальное сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве $U$ из $M$ , при этом в каждой точке из $U$ задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на $M$ образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над $M$ .

Каноническое векторное поле на $TM$

На каждом касательном расслоении $TM$ можно определить каноническое векторное поле. Если $(x,\;y)$ — локальные координаты на $TM$ , то векторное поле имеет вид

V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.

$V$ является отображением $V\colon TM\to TTM$ .

Существование такого векторного поля на $TM$ можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. также

Дифференциал отображения
Векторное поле
Распределение — подрасслоение касательного расслоения
Кокасательное расслоение
Метрика Сасаки — естественная метрика на касательном расслоении риманова многообразия.

Ссылки

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.