Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов➤, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств➤. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств➤, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств➤.

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики^[1]. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту^[2].

Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений➤, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств^[англ.] (развиваемая в основном чешскими математиками).

Ключевые понятия теории➤: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная), трансфинитная индукция.

История

Предпосылки

Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён Древней Греции: например, в том или ином виде рассматривались отношения включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечётных, простых чисел. Зачатки идеи о равномощности множеств встречаются у Галилея: рассуждая о соответствии между числами и их квадратами, он обращает внимание на неприменимость аксиомы «целое больше части» к бесконечным объектам (парадокс Галилея)^[3].

Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к работам Гаусса начала 1800-х годов, опубликованным в его «Арифметических исследованиях»^[4], в которых, вводя сравнения на множестве рациональных чисел, он обнаруживает классы эквивалентности (классы вычетов) и разбивает всё множество на эти классы, отмечая их бесконечность и взаимное соответствие, рассматривает бесконечное множество решений $ax+b\equiv 0{\pmod {n}}$ как единую совокупность, классифицирует бинарные квадратичные формы ( $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ ) в зависимости от определителя и рассматривает этот бесконечный набор классов как бесконечные совокупности объектов нечисловой природы, предполагает возможность выбирать из классов эквивалентностей по одному объекту-представителю всего класса^[5]: использует методы, характерные для теоретико-множественного подхода, не использовавшиеся явно в математике до XIX века. В более поздних работах Гаусс, рассматривая совокупность комплексных чисел с рациональными вещественной и мнимой частью, говорит о вещественных, положительных, отрицательных, чисто мнимых целых числах как её подмножествах^[6]. Однако бесконечные множества или классы как самостоятельные объекты исследования Гауссом явно не выделялись, более того, Гауссу принадлежат высказывания против возможности использования актуальной бесконечности в математических доказательствах^[7].

Более отчётливое представление о бесконечных множествах проявляется в работах Дирихле, в курсе лекций 1856—1857 годов^[8], построенном на основе гауссовых «Арифметических исследований». В работах Галуа, Шёмана и Серре по теории функциональных сравнений 1820—1850-х годов также намечаются элементы теоретико-множественного подхода, которые обобщил Дедекинд в 1857 году, явно сформулировавший в качестве одного из выводов необходимость рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи всем его элементам, а систему бесконечно многих несравнимых классов уподобляет ряду целых чисел^[9]. Отдельные понятия теории множеств можно встретить в трудах Штейнера и Штаудта 1830—1860-х годов по проективной геометрии: практически весь предмет в значительной степени зависит от представления о взаимно-однозначном соответствии, ключевом для теории множеств, однако в проективной геометрии на такие соответствия накладывались дополнительные ограничения (сохранение некоторых геометрических соотношений). В частности, Штейнер явно вводит понятие несчётного множества для множества точек на прямой и множества лучей в пучке и оперирует с их несчётными подмножествами, а в работе 1867 года вводит понятие мощности как характеристики множеств, между которыми возможно установить проективное соответствие (Кантор позднее указывал, что заимствовал само понятие и термин у Штейнера, обобщив проективное соответствие до взаимно-однозначного)^[10].

Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления содержатся в трудах Больцано^[11], прежде всего, в работе «Парадоксы бесконечного»^[англ.], опубликованной после смерти автора в 1851 году, в которой рассматриваются произвольные числовые множества, и для их сравнения явно определено понятие взаимно-однозначного соответствия, и сам термин «множество» (нем. menge) также впервые систематически использован в этой работе. Однако, работа Больцано носит в большей степени философский характер, нежели математический, в частности, в ней нет чёткого разграничения между мощностью множества и понятием величины или порядка бесконечности, и сколь-нибудь формальной и целостной математической теории в этих представлениях нет^[12]. Наконец, теории вещественного числа Вейерштрасса, Дедекинда и Мерэ, созданные в конце 1850-х годов и опубликованные в начале 1860-х во многом перекликаются с идеями наивной теории множеств в том смысле, что рассматривают континуум как множество, образованное из рациональных и иррациональных точек^[13].

Наивная теория множеств

Георг Кантор в 1870 году

Схема доказательства счётности множества рациональных чисел

Схематическая идея доказательства теоремы Кантора — Бернштейна

Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых ввёл понятие предельной точки, близкое к современному^[14] и пытался с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)^[15]. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаружил счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно^[англ.] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат опубликовал в 1874 году по настоянию Вейерштрасса^[16]^[17]. В 1877 году Кантор доказал взаимно-однозначное соответствие между $\mathbb {R}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ (для любого $n>0$ ). Первыми результатами Кантор делился в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечали благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года опубликовал шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств^[18]^[19].

В 1877 году Дедекинд опубликовал статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде использовались операции со множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, — отношение включения (со знаками «<» и «>»), объединение (со знаком «+») и пересечение (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически описана алгебра множеств с присущей ей двойственностью операций объединения и пересечения; в обозначениях Дедекинда:

(A+B)-(A+C)=A+(B-(A+C))

,

(A-B)+(A-C)=A-(B+(A-C))

,

в последующих своих работах многократно используя этот результат^[20]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений Кантор использовал теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот^[нем.], Томе^[нем.], Нетто) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей^[21] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).

В 1880 году Кантор сформулировал две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон, Гарнак, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций^[22]. В работе 1883 года Кантор дал исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также построил классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)^[23], а также в явном виде сформулировал континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет опубликовал лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»^[24] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна^[25], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций^[26]. Шрёдер в 1895 году обратил внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым была установлена глубокая связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895—1897 годы Кантор опубликовал цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств^[27]^[28].

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии^[29]. Тем не менее к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом^[30].

Парадоксы

Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895—1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий, внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента, ситуация получила известность как «кризис оснований математики»^[31].

Противоречие, к которому приводит рассмотрение множества всех порядковых чисел впервые обнаружено Кантором в 1895 году^[32], переоткрыто и впервые опубликовано Бурали-Форти (итал. Cesare Burali-Forti) в 1897 году, и стало известно как парадокс Бурали-Форти^[33]. В 1899 году в письме Дедекинду Кантор впервые говорит о противоречивости универсума как множества всех множеств, так как множество всех его подмножеств должно было бы быть равномощно самому себе, не удовлетворяя принципу ${\mathfrak {m}}<2^{\mathfrak {m}}$ ^[34], впоследствии эта антиномия стала известна как парадокс Кантора. В дальнейшей переписке Кантор предложил рассматривать собственно множества (нем. mengen), которые могут быть мыслимы как единый объект, и «многообразия» (vielheiten) для сложных конструкций, в том или ином виде эта идея нашла отражения в некоторых поздних аксиоматизациях и обобщениях^[35].

Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела, обнаруженный около 1901 года Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии «Основания математики». Суть парадокса в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств, не включающих себя. Кроме того, примерно к тому же времени относится обнаружение таких антиномий как парадокс Ришара, парадокс Берри и парадокс Греллинга — Нельсона, показывающих противоречия при попытках использования самореференции свойств элементов при построении множеств.

В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом, обеспечивающей непротиворечивость при сохранении инструментальной мощи теории, второе — исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. В рамках первого направления, начатого Цермело, Гильбертом, Бернайсом, Хаусдорфом, было создано несколько вариантов аксиоматической теории множеств➤ и за счёт довольно искусственных ограничений преодолены основные противоречия. Второе направление, основным выразителем которого был Брауэр, породило новое направление в математике — интуиционизм, и в той или иной мере оно было поддержано Пуанкаре, Лебегом, Борелем, Вейлем.

Аксиоматические теории множеств

Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело, центральную роль в исключении парадоксов в этой системе должна была сыграть «аксиома селекции» (нем. Aussonderung), согласно которой от свойства $P(x)$ только тогда можно образовать множество $\{x\mid P(x)\}$ , если из $P(x)$ следует отношение вида $x\in A$ ^[35]. В 1922 году благодаря работам Скулема и Френкеля система на базе аксиом Цермело была окончательно сформирована, включив аксиомы объёмности, существования пустого множества, пары, суммы, степени, бесконечности и с вариантами с аксиомой выбора и без неё. Эти аксиоматики получили наибольшее распространение и известны как теория Цермело — Френкеля, система с аксиомой выбора обозначается ZFC, без аксиомы выбора — ZF.

Особая роль аксиомы выбора связана с её интуитивной неочевидностью и заведомым отсутствием эффективного способа определения множества, собранного из элементов семейства. В частности Борель и Лебег считали, что доказательства, полученные с её применением, имеют другую познавательную ценность, нежели доказательства, независимые от неё, тогда как Гильберт и Хаусдорф принимали её безоговорочно, признавая за ней не меньшую степень очевидности, что и за другими аксиомами ZF^[36].

Другой получивший распространение вариант аксиоматизации теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году, формализован в 1930-е годы Бернайсом, и упрощён Гёделем в 1940 году (в работе по доказательству независимости континуум-гипотезы от аксиомы выбора), окончательный вариант получил известность как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначение NBG^[37].

Существует ряд прочих аксиоматизаций, среди них система Морса — Келли^[англ.] (MK), система Крипке — Платека^[англ.], система Тарского — Гротендика^[англ.].

Дескриптивная теория множеств

В начале XX века в работах Лебега, Бэра, Бореля исследованы вопросы измеримости множеств. На основе этих работ в 1910—1930 годы разработана теория дескриптивных множеств, систематически изучающая внутренние свойства множеств, построенных теоретико-множественными операциями из объектов относительно простой природы — открытых и замкнутых множеств евклидова пространства, метрических пространств, метризуемых топологических пространств со счётной базой. Основной вклад в создание теории внесли Лузин, Александров, Суслин, Хаусдорф. С 1970-х годов разрабатываются обобщения дескриптивной теории множеств на случай более общих топологических пространств.

Основные понятия

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения графем заглавных букв греческого, русского и латинского алфавитов

Декартово произведение

\{x,y,z\}\times \{1,2,3\}

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение принадлежности множества (обозначается как $x\in A$ ^[38] — « $x$ есть элемент множества $A$ », « $x$ принадлежит множеству $A$ »). Пустое множество, обычно обозначается символом $\varnothing$ — множество, не содержащее ни одного элемента. Подмножество и надмножество — соотношения включения одного множества в другое (обозначаются соответственно $A\subseteq B$ и $A\supseteq B$ для нестрогого включения и $A\subset B$ и $A\supset B$ — для строгого).

Над множествами определены следующие операции:

объединение, обозначается как $A\cup B$ — множество, содержащее все элементы из $A$ и $B$ ,
разность, обозначается как $A\setminus B$ , реже $A-B$ — множество элементов $A$ , не входящих в $B$ ,
дополнение, обозначается как $\setminus A$ или $-A$ — множество всех элементов, не входящих в $A$ (в системах, использующих универсальное множество),
пересечение, обозначается как $A\cap B$ — множество из элементов, содержащихся как в $A$ , так и в $B$ ,
симметрическая разность, обозначается как $A\bigtriangleup B$ , реже $A\;\;\!\!{\dot {-}}\;\;\!\!B$ — множество элементов, входящих только в одно из множеств — $A$ или $B$ .

Объединение и пересечение также часто рассматривают над семействами множеств, обозначаются $\bigcup {\mathfrak {A}}$ и $\bigcap {\mathfrak {A}}$ и составляют, соответственно, объединение всех множеств, входящих в семейство ${\mathfrak {A}}$ и пересечение всех множеств, входящих в семейство.

Объединение и пересечение коммутативны, ассоциативны и идемпотентны. В зависимости от выбора системы аксиом и наличия дополнения алгебра множеств (относительно объединения и пересечения) может образовывать дистрибутивную решётку, полную дистрибутивную решётку, булеву алгебру. Для визуализации операций над множествами используются диаграммы Венна.

Декартово произведение множеств $A$ и $B$ — множество всех упорядоченных пар элементов из $A$ и $B$ : $A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\land y\in B\}$ . Отображение $f$ множества $A$ в множество $B$ теории множеств рассматривается как бинарное отношение — подмножество $A\times B$ — с условием единственности соответствия первого элемента второму: $(x,y)\in f\Rightarrow \forall z\neq y((x,z)\notin f)$ .

Множество подмножеств — множество всех подмножеств данного множества, обозначается ${\mathcal {P}}(A)$ или $2^{A}$ (так как соответствует множеству отображений из $A$ в $\mathbf {2} =\{0,1\}$ ).

Мощность множества (кардинальное число) — характеристика количества элементов множества, формально определяется как класс эквивалентности над множествами, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, обозначается $|A|$ или $\sharp A$ . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств — целое число, равное количеству элементов. Над кардинальными числами, в том числе характеризующими бесконечные множества, можно установить отношение порядка, мощность счётного множества обозначается $\aleph _{0}$ (алеф — первая буква еврейского алфавита), является наименьшей из мощностей бесконечных множеств, мощность континуума обозначается ${\mathfrak {c}}$ или $2^{\aleph _{0}}$ , континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.^[39]

Представление порядковых чисел до

\omega ^{\omega }

Если кардинальное число характеризует класс эквивалентности множеств относительно возможности установить взаимно-однозначное соответствие, то порядковое число (ординал) — характеристика классов эквивалентности вполне упорядоченных множеств относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Строятся ординалы посредством введения арифметики порядковых чисел (с операциями сложения и умножения), порядковое число конечных множеств совпадает с кардиналом (обозначается соответствующим натуральным числом), порядковое число множества всех натуральных чисел с естественным порядком обозначается как $\omega$ , далее конструируются числа:

\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots \omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,

,

после чего вводятся $\varepsilon _{0}$ -числа:

\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}

.

Множество всех $\omega$ - и $\varepsilon$ -чисел — счётных ординалов — обладает мощностью $\aleph _{1}$ .^[40]

Обобщения

Средствами теории категорий, зачастую противопоставляемой теории множеств и с инструментальной, и с дидактической точек зрения, Ловер и Тирни (англ. Miles Tierney) в 1970 году создали теорию топосов, изучаемый ею объект — элементарный топос — построен по принципу схожести с поведением множеств в теоретико-множественном понимании, элементарными топосами удалось представить практически все варианты теории множеств.

Теория нечётких множеств — расширение теории множеств, предложенное в 1960-х годах Лотфи Заде^[41] в рамках концепции нечёткой логики, в нечёткой теории вместо отношения принадлежности элементов к множеству рассматривается функция принадлежности со значениями в интервале $[0,1]$ : элемент чётко не принадлежит множеству если функция его принадлежности равна нулю, чётко принадлежит — если единице, в остальных случаях отношение принадлежности считается нечётким. Применяется в теории информации, кибернетике, информатике.

Теория мультимножеств^[42], в применении к теории сетей Петри называемая теорией комплектов, рассматривает в качестве основного понятия наборы элементов произвольной природы, в отличие от множества, допускающие присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента, отношение включения в этой теории заменено функцией числа экземпляров: $\sharp (a,A)$ — целое число вхождений элемента $a$ в мультимножество $A$ , при объединении комплектов число экземпляров элементов берётся по максимуму вхождений ( $\sharp (a,A_{1}\cup A_{2})=\max(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})$ ), при пересечении — по минимуму ( $\sharp (a,A_{1}\cap A_{2})=\min(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})$ )^[43]. Используется в теоретической информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений.

Альтернативная теория множеств^[англ.] — теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах Петра Вопенки (чеш. Petr Vopěnka)^[44], основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция полумножеств^[англ.].

В культуре

«Теоретико-множественные» часы в Берлине показывают время 9:32

В 1960—1970-е годы в рамках теории музыки была создана собственная теория множеств^[англ.], предоставляющая средства чрезвычайно обобщённого описания музыкальных объектов (звуков с их высотами, динамикой, длительностью), взаимоотношения между ними и операции над их группами (такими как транспозиция, обращение). Однако связь с математической теорией множеств более чем опосредованная, и, скорее, терминологическая и культурная: в музыкальной теории множеств рассматриваются только конечные объекты и каких-то существенных теоретико-множественных результатов или значительных конструкций не используется; гораздо в большей степени в этой теории задействованы аппараты теории групп и комбинаторики^[45].

Также в большей степени под культурным, нежели содержательным влиянием теории множеств немецким дизайнером Биннингером (нем. Dieter Binninger) в 1975 году были созданы так называемые «теоретико-множественные» часы (нем. Mengenlehreuhr) (также известны как берлинские часы, нем. Berlin-Uhr), вошедшие в Книгу рекордов Гиннесса как первое устройство, использующее пятеричный принцип для отображения времени посредством цветных светящихся индикаторов (первый и второй ряд индикаторов сверху показывает часы, третий и четвёртый — минуты; каждый светящийся индикатор соответствует пяти часам для первого ряда, одному часу для второго ряда, пяти минутам для третьего ряда и одной минуте для четвёртого ряда). Часы установлены в берлинском торгово-офисном комплексе Europa-Center.

Примечания

↑ Множеств теория / П. С. Александров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. «<…>явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.) <…> оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики»
↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 382.
↑ Бурбаки, 1963, с. 39.
↑ C. F. Gauss. Disquititiones arithmeticae. — Lipsiae, 1801.
↑ Медведев, 1965, с. 15—17.
↑ Медведев, 1965, с. 22—23.
↑ Медведев, 1965, с. 24.
↑ P. G. Lejuen Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. — Braunschweig, 1863., курс к изданию готовил Дедекинд, уже после смерти Дирихле
↑ Медведев, 1965, с. 24—27.
↑ Медведев, 1965, с. 28—32.
↑ Медведев, 1965, с. 74—77.
↑ Бурбаки, 1963, с. 39—40.
↑ Медведев, 1965, с. 61—67.
↑ Медведев, 1965, с. 86—87.
↑ Бурбаки, 1963, с. 40.
↑ Медведев, 1965, с. 94—95.
↑ Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.
↑ Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.
↑ Бурбаки, 1963, с. 40—41.
↑ Медведев, 1965, с. 103—105.
↑ Медведев, 1965, с. 107—110.
↑ Медведев, 1965, с. 113—117.
↑ Медведев, 1965, с. 126—131.
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p. Архивировано 13 мая 2013 года.
↑ Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном в 1897 году
↑ Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.
↑ Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.
↑ Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.
↑ Медведев, 1965, с. 133—137.
↑ Бурбаки, 1963, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.
↑ Бурбаки, 1963, Парадоксы теории множеств и кризис оснований, с. 44—53.
↑ Не опубликовано, сообщено в письме Гильберту
↑ Медведев, 1965, с. 177—179.
↑ Бурбаки, 1963, с. 44.
↑ ¹ ² Бурбаки, 1963, с. 46.
↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 61.
↑ Бурбаки, 1963, с. 46—47.
↑ Символ $\in$ (от греч. εστι — «быть») введён Пеано.
↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 176—211, 305—327.
↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 273—303.
↑ L. Zadeh. Fuzzy Sets (англ.) // Information and Control. — 1965. — Vol. 5. — P. 338—353. — ISSN 0019-9958. — doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. Архивировано 27 ноября 2007 года.
↑ А. Б. Петровский. Пространства множеств и мультимножеств. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 248. — ISBN 5-7262-0633-9. Архивировано 24 сентября 2015 года.
↑ Джеймс Питерсон. Обзор теории комплектов // Теория сетей Петри и моделирование систем = Petri Net Theory and The Modelling of Systems. — М.: Мир, 1984. — С. 231—235. — 264 с. — 8400 экз.
↑ П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.
↑ M. Schuijer. Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. — Rochester: University Rochester Press, 2008. — 306 p. — ISBN 978-1-58046-270-9.

Литература

Аксиоматические теории множеств : [арх. 17 октября 2022] / В. Г. Кановей // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз..
П. Дж. Коэн. Об основаниях теории множеств (рус.) = P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15. // Успехи математических наук / Ю. И. Манин (перевод). — М., 1974. — Т. XXIX, вып. 5 (179). — С. 169—176. — ISSN 0042-1316.
К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

[1] Множеств теория / П. С. Александров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. «<…>явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.) <…> оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики»

[2] Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 382.

[_68bf594f2775128d-3] Бурбаки, 1963, с. 39.

[4] C. F. Gauss. Disquititiones arithmeticae. — Lipsiae, 1801.

[_e35dc5e435c3eee1-5] Медведев, 1965, с. 15—17.

[_981124b4c3c4f1ae-6] Медведев, 1965, с. 22—23.

[_785153abbfc1a25d-7] Медведев, 1965, с. 24.

[8] P. G. Lejuen Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. — Braunschweig, 1863., курс к изданию готовил Дедекинд, уже после смерти Дирихле

[_d4a7d15910fc795c-9] Медведев, 1965, с. 24—27.

[_3fd32fef6b4b7f8e-10] Медведев, 1965, с. 28—32.

[_ef6df5612be68c66-11] Медведев, 1965, с. 74—77.

[_e0905c26688cee9d-12] Бурбаки, 1963, с. 39—40.

[_f5d02ca0b145492f-13] Медведев, 1965, с. 61—67.

[_d8b214e98aad8b9e-14] Медведев, 1965, с. 86—87.

[_68bf584f27751131-15] Бурбаки, 1963, с. 40.

[_020534f2d6f26c08-16] Медведев, 1965, с. 94—95.

[_63c9217a27454857-17] Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.

[_33be59280a7d0c9b-18] Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.

[_5147578f2bea7618-19] Бурбаки, 1963, с. 40—41.

[_2687ccdaa9af2801-20] Медведев, 1965, с. 103—105.

[_54ee7be9ca45ebc3-21] Медведев, 1965, с. 107—110.

[_5ef4690dab42474f-22] Медведев, 1965, с. 113—117.

[_1188757a321afeff-23] Медведев, 1965, с. 126—131.

[24] Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p. Архивировано 13 мая 2013 года.

[25] Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном в 1897 году

[_ad8623a63ad6ddbb-26] Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.

[_a1f44af81f2ae1b7-27] Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.

[_cd2fe8de99f62ca8-28] Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.

[_c2b9ffeea8519e5f-29] Медведев, 1965, с. 133—137.

[_18fa27639dd1aaeb-30] Бурбаки, 1963, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.

[_dff9b91e544635e6-31] Бурбаки, 1963, Парадоксы теории множеств и кризис оснований, с. 44—53.

[32] Не опубликовано, сообщено в письме Гильберту

[_1e7c746572e02545-33] Медведев, 1965, с. 177—179.

[_68bf584f27751135-34] Бурбаки, 1963, с. 44.

[_68bf584f27751137-35] ¹ ² Бурбаки, 1963, с. 46.

[_f001183f1ef393e6-36] Куратовский, Мостовский, 1970, с. 61.

[_1b1f3099e4348df8-37] Бурбаки, 1963, с. 46—47.

[38] Символ $\in$ (от греч. εστι — «быть») введён Пеано.

[_fac0edf73807f813-39] Куратовский, Мостовский, 1970, с. 176—211, 305—327.

[_de29e4454da06dd1-40] Куратовский, Мостовский, 1970, с. 273—303.

[41] L. Zadeh. Fuzzy Sets (англ.) // Information and Control. — 1965. — Vol. 5. — P. 338—353. — ISSN 0019-9958. — doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. Архивировано 27 ноября 2007 года.

[42] А. Б. Петровский. Пространства множеств и мультимножеств. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 248. — ISBN 5-7262-0633-9. Архивировано 24 сентября 2015 года.

[43] Джеймс Питерсон. Обзор теории комплектов // Теория сетей Петри и моделирование систем = Petri Net Theory and The Modelling of Systems. — М.: Мир, 1984. — С. 231—235. — 264 с. — 8400 экз.

[44] П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.

[45] M. Schuijer. Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. — Rochester: University Rochester Press, 2008. — 306 p. — ISBN 978-1-58046-270-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]