Элементарный топос

Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.

Определение

Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект $\Omega$ , называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта $T\colon 1\to \Omega$ , называемый истиной (также обозначается $true$ ), такой что для любого мономорфизма $m\colon A\to B$ существует единственный морфизм $\chi _{m}\colon B\to \Omega$ , для которого диаграмма

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал $a^{b}$ любых двух объектов $a$ и $b$ и классификатор подобъектов $\Omega$ .

Свойства

Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.

Примеры

Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств $A$ и $B$ — это множество $A^{B}$ отображений из $B$ в $A$ . Классификатор подобъектов — это множество $\Omega =\{0;1\}$ , при этом $m$ — естественное вложение $A$ в $B$ , а $\chi _{m}$ — характеристическая функция подмножества $A$ множества $B$ , равная 1 на элементах $A$ и 0 на элементах $A\backslash B$ . Подобъекты $A$ — это его подмножества.
Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
Для любой категории $C$ категория функторов $\left[C,\mathbf {Set} \right]$ является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов $F,G$ функтор морфизмов $[F,G]$ даётся формулой

[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))

Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов

\Omega

на объекте

c\in C

равен множеству подфункторов представимого функтора

\mathrm {Hom} (c,\cdot )

.

Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству $X$ его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, $Ouv(X)$ , то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе $[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$ . Единственное отличие: $\Omega (c)$ есть множество всех подпучков представимого пучка $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$ .
Более общо, для любой категории $C$ с заданной топологией Гротендика $\tau$ категория $\tau$ -пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

Литература

Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.