Группа трилистника

Группа трилистника — группа узла трилистника, простейшего нетривиального узла. Является классическим объектом изучения комбинаторной теории групп, который возникает в теории кос, алгебраической геометрии и алгебраической К-теории.

Левый трилистник

История

С группой трилистника связана важная проблема теории узлов о неэквивалентности узла трилистника и его зеркального образа (так называемых левых и правых трилистников), поставленная Титце в 1908 году. Данные узлы не удавалось отличить имеющимися на тот момент инструментами, поскольку их группы изоморфны, и это побуждало исследователей к поиску новых методов. Решение проблемы Титце было получено Деном в 1914 году на основе анализа действия автоморфизма группы трилистника, индуцированного зеркальным отражением этого узла, на периферической системе трилистника — его меридиане и параллели.

Определение

Группой трилистника называется фундаментальная группа дополнения узла трилистника $T_{2,3}$:

$G_{2,3}:=\pi _{1}(S^{3}\setminus T_{2,3})$.

Группа трилистника может быть следующим образом задана образующими и соотношениями.

Копредставление Виртингера, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид

$G_{2,3}\cong \langle x,y,z\mid y^{-1}xy=z,\ z^{-1}yz=x,\ x^{-1}zx=y\rangle$.

Копредставление Дена, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид

$G_{2,3}\cong \langle c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\mid c_{1}c_{4}^{-1}c_{2}=c_{2}c_{4}^{-1}c_{3}=c_{3}c_{4}^{-1}c_{1}=1\rangle$.

Группа трилистника является элементом серии групп $G_{p,q}$ торических узлов и зацеплений типа $(p,q)$. В частности, она допускает стандартное для этой серии задание

$G_{2,3}\cong \langle a,b\mid a^{2}=b^{3}\rangle$.

Данное задание может быть получено из копредставления Виртингера правилами $a=yzy$ и $b=yz$, или, что то же самое, $y=ab^{-1}$ и $z=b^{2}a^{-1}$.

Связь с теорией кос

Группа трилистника изоморфна группе кос $B_{3}$ из трёх нитей:

$G_{2,3}\cong B_{3}$.

А именно, в образующих $\sigma _{1}:=y$ и $\sigma _{2}:=z$ копредставление Виртингера принимает вид стандартного копредставления группы кос $B_{3}$:

$G_{2,3}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle$.

Концептуальным объяснением данного изоморфизма является гомотопическая эквивалентность дополнения трилистника и конфигурационного пространства $\operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {R} ^{2})$ неупорядоченных наборов трёх различных точек на плоскости (см. Конфигурационное пространство (топология) § Тройки точек на плоскости).

Связь с алгебраической геометрией

Группа трилистника изоморфна локальной фундаментальной группе обыкновенного каспа, или, что приводит к тому же,

$G_{2,3}\cong \pi _{1}(\mathbb {C} ^{2}\setminus Y)$,

где $Y:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\mid x^{2}=y^{3}\}$. Данный изоморфизм тесно связан с вышеуказанной интерпретацией дополнения трилистника.

Связь с алгебраической К-теорией

Группа трилистника изоморфна второй группе Стейнберга кольца целых чисел:

$G_{2,3}\cong St_{2}(\mathbb {Z} )$.

А именно, в образующих $x_{1,2}:=\sigma _{1}$ и $x_{2,1}:=\sigma _{2}^{-1}$ копредставление группы кос $B_{3}$ принимает вид стандартного копредставления группы $St_{2}(\mathbb {Z} )$ с одним соотношением Стейнберга:

$G_{2,3}\cong \langle x_{1,2},x_{2,1}\mid x_{1,2}x_{2,1}^{-1}x_{1,2}=x_{2,1}^{-1}x_{1,2}x_{2,1}^{-1}\rangle$.

Пролить свет на данный изоморфизм можно следующим образом.

Дополнение трилистника и фактор специальной линейной группы ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )$, рассматриваемой как группа Ли, по решетке ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ гомеоморфны:

$S^{3}\setminus T_{2,3}\cong {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )/{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$.

Универсальное накрытие

$\pi \colon {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}}\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$

является гомоморфизмом групп Ли. Обозначим символом ${\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}}$ прообраз подгруппы ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ относительно этого гомоморфизма. Иными словами, группа ${\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}}$ является ядром композиции

${\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}}\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$.

Данная композиция сама является универсальным накрытием, и следовательно, имеется следующая цепочка изоморфизмов:

${\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}}\cong \pi _{1}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))\cong \pi _{1}(S^{3}\setminus T_{2,3})\cong G_{2,3}$.

Получающийся из этой цепочки и универсального накрытия $\pi$ эпиморфизм

$\psi \colon G_{2,3}\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$

переводит образующие $\sigma _{1}$ и $\sigma _{2}$ группы трилистника в элементарные матрицы:

$\sigma _{1}\mapsto e_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$,

$\sigma _{2}\mapsto e_{2,1}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}$.

Гомоморфизм $\psi$ не является мономорфизмом. А именно, его ядро является бесконечным циклическим и порождается элементом

$a^{4}=b^{6}=(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1})^{4}=(\sigma _{1}\sigma _{2})^{6}$.

Свойства

Центр $Z(G_{2,3})$ группы трилистника, как и группы любого торического зацепления, является бесконечным циклическим, а именно, он порождён элементом

$a^{2}=b^{3}=(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1})^{2}=(\sigma _{1}\sigma _{2})^{3}$.

В группе кос $B_{3}$ такому элементу соответствует центральная коса $\Delta _{3}^{2}$.

Как и для любого узла, абелианизация группы трилистника изоморфна первой группе гомологий дополнения трилистника и является бесконечной циклической:

$G_{2,3}^{ab}\cong H_{1}(S^{3}\setminus T_{2,3};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$.

Гомоморфизм абелианизации $G_{2,3}\to \mathbb {Z}$ сопоставляет образующим $\sigma _{1}$ и $\sigma _{2}$ число $1$, а образующим $a$ и $b$ — числа $3$ и $2$.

Коммутант $[G_{2,3},G_{2,3}]$ группы трилистника является свободной группой ранга два. Это связано с тем, что узел трилистник, как и любое торическое зацепление, является расслоённым. В качестве двухэлементного базиса можно взять, например, элементы $\sigma _{2}\sigma _{1}^{-1}$ и $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}$.

Группа трилистника является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Бурау группы кос из трёх нитей является точным.

Факторгруппы

Модулярная группа

Факторгруппа группы трилистника по её центру изоморфна модулярной группе:

$G_{2,3}/Z(G_{2,3})\cong {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$.

Данный изоморфизм получается из теоремы о гомоморфизме, применённой к композиции

$G_{2,3}\to {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$

вышеприведённого эпиморфизма $\psi$ и канонической проекцией на факторгруппу группы ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ по её двухэлементному центру $\{I_{2},-I_{2}\}$. Поскольку образующая $-I_{2}$ данного центра может быть представлена в виде

$(e_{1,2}e_{2,1}^{-1}e_{1,2})^{2}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$,

ядро полученного эпиморфизма порождено элементом $(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1})^{2}$, и следовательно, совпадает с центром группы трилистника.

Такой эпиморфизм

$G_{2,3}\to {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$

является примером проективного представления группы трилистника.

См. также

• Модулярная группа

Литература

• Кассель, К., Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
• Милнор, Дж. Введение в алгебраическую K-теорию. — М.: Мир, 1974. — 199 с.
• Магнус, В, Чандлер, Б. Развитие комбинаторной теории групп. Очерк истории развития идей = The History of Combinatorial Group Theory. A Case Study in the History of Ideas (рус.). — М.: Мир, 1985. — 256 с.
• Murasugi, K, Kurpita, B. I. A Study of Braids. — Springer, 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4. — doi:10.1007/978-94-015-9319-9.

Ссылки

• Серр, Ж.-П. Деревья, амальгамы и SL2 // Математика / пер. В. И. Данилова под редакцией Ю. И. Манина. — 1974. — Т. 18, вып. 1. — С. 3–51.