Первая группа гомологий

Первая группа гомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из петель в этом пространстве, рассматриваемых с точностью до гомологичности. Такие петли описывают форму пространства и измеряют количество его дыр. Первая группа гомологий является простейшим вариантом групп гомологий топологического пространства — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Длинный цилиндр на бутылке Клейна, ограничивающий одномерные циклы $a$ и $-a$, является гомологией между ними.

Близким понятием является фундаментальная группа, операция в которой в общем случае некоммутативна. Первая группа гомологий отличается от фундаментальной тем, что она хранит меньше информации о топологическом пространстве. В связи с этим её проще вычислять. Если фундаментальная группа пространства абелева, то она изоморфна первой группе гомологий, а в общем случае первая группа гомологий является абелианизацией фундаментальной.

Определение

Одномерным циклом в топологическом пространстве $X$ называется произвольный упорядоченный набор петель в нём, то есть непрерывное отображение из дизъюнктного объединения окружностей вида

$s\colon \coprod _{i=1}^{n}S^{1}\to X$,

где $n\geq 0$. Число $n$ называется количеством компонент цикла. При $n=1$ цикл является петлей, а при $n=0$ — пустым отображением.

Индуцирование ориентации с поверхности на её граничные компоненты.

Два одномерных цикла $u$ с $p$ компонентами и $v$ с $q$ компонентами называются гомологичными, если существуют такие

• непрерывное отображение $f\colon \Sigma \to X$, где $\Sigma$ — дизъюнктное объединение нескольких ориентированных сфер с ручками и дырками, общее число дырок в котором равно $p+q$,
• вложения $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{p+q}\colon S^{1}\to \Sigma$, параметризующие граничные окружности поверхности $\Sigma$ в направлении, согласованном с её ориентацией,

что сужение отображения $u$ на окружность индекса $k$ совпадает с петлей $f\circ i_{k}$ для всех $k\in \{1,\ldots ,p\}$, а сужение отображения $v$ на окружность индекса $k$ совпадает с петлей $(f\circ i_{p+k})^{rev}$ для всех $k\in \{1,\ldots ,q\}$, где символ $x^{rev}$ обозначает цикл, отличающийся от цикла $x$ лишь направлением обхода каждой окружности. В этом случае отображение $f\colon \Sigma \to X$ называется гомологией между циклами $u$ и $v$.

Гомологичность является отношением эквивалентности на множестве всех одномерных циклов. Множество всех классов эквивалентности называется первой группой гомологий пространства $X$ и обозначается символом $H_{1}(X)$.

Множество $H_{1}(X)$ наделяется структурой абелевой группы: суммой двух гомологических классов называется гомологический класс объединения соответствующих одномерных циклов. Относительно такой операции нулём является гомологический класс пустого отображения, а противоположным элементом к данному — гомологический класс цикла $x^{rev}$, получающегося из некоторого представителя $x$ данного класса обращением направления обхода всех его компонент.

Связанные определения

Если одномерный цикл гомологичен пустому отображению, то говорят, что он гомологичен нулю или является границей. Иными словами, цикл с $n$ компонентами гомологичен нулю, если он продолжается до отображения из сферы с ручками и $n$ дырками.

Отношение гомологичности циклов выражается через гомологичность нулю. А именно, два одномерных цикла $u$ и $v$ гомологичны тогда и только тогда, когда цикл $u\sqcup v^{rev}$ гомологичен нулю.

Первым числом Бетти пространства $X$ называется ранг абелевой группы $H_{1}(X)$, рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел. Как следует из названия, является частным случаем чисел Бетти.

Свойства

Первая группа гомологий компактного пространства является конечно порождённой.

Первые группы гомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Функториальность

Сопоставление $X\to H_{1}(X)$ продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. А именно, каждому непрерывному отображению $f\colon X\to Y$ сопоставляется гомоморфизм $f_{*}\colon H_{1}(X)\to H_{1}(Y)$, определяющийся формулой $f_{*}([u]):=[f\circ u]$, где символ $[x]$ обозначает гомологический класс цикла $x$.

Если два отображения $f,g\colon X\to Y$ гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп гомологий: $f_{*}=g_{*}$. В связи с этим сопоставление $X\to H_{1}(X)$ продолжается до функтора из гомотопической категории в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Поскольку сфера с нулём ручек и двумя дырками гомеоморфна цилиндру, гомологичность является обобщением гомотопности. В частности, если два одномерных цикла гомотопны, то они гомологичны. В отличие от гомотопности, у гомологичных циклов количество компонент может различаться.

Имеется естественный гомоморфизм из фундаментальной группы пространства в его первую группу гомологий. Он сопоставляет гомотопическому классу петли её гомологический класс. Можно проверить, что относительно данного отображения произведение переходит в сумму, и тем самым оно действительно является гомоморфизмом. Его ядро совпадает с коммутантом фундаментальной группы. В случае, когда пространство $X$ линейно связно, данный гомоморфизм сюръективен, и тем самым

$\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\cong H_{1}(X)$,

то есть первая группа гомологий изоморфна абелианизации фундаментальной группы.

В частности, первая группа гомологий линейно связного пространства тривиальна тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа каинова.

См. также

• Первая группа когомологий

Литература

• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.). — М.: МЦНМО, 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Y., Kharlamov V. M.. Elementary Topology. Textbook in Problems = Элементарная топология (англ.). — American Mathematical Society, 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063.