Каинова группа

Ка́инова группа — группа, совпадающая со своим коммутантом.

Некоторые авторы используют термин «совершенная группа» (от англ. perfect group). Это создаёт путаницу с другим одноимённым понятием, которое в англоязычной литературе обычно называется «полной (complete) группой».

Определение

Группа $G$ называется каиновой, если она удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Она совпадает со своим коммутантом: $[G,G]=G$.
• Её абелианизация тривиальна: $G^{ab}=0$.
• Любой гомоморфизм $f\colon G\to A$ из неё в произвольную абелеву группу $A$ тривиален: ${\rm {Im}}(f)=0$.
• Среди её факторгрупп абелевой является лишь тривиальная группа.

Примеры

Простейшим примером каиновой группы является знакопеременная группа $A_{5}$. В действительности, для любого $n\geq 5$ группа $A_{n}$ является каиновой. Более того, как следует непосредственно из определения, любая простая группа, не являющаяся абелевой (точнее, циклической), каинова. Наконец, любая квазипростая группа является каиновой.

Специальная линейная группа ${\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )$ является каиновой. Более того, любая полупростая группа Ли является каиновой.

Свойства

Любая нетривиальная каинова группа является неразрешимой.

Прямое произведение каиновых групп является каиновой. Любая факторгруппа каиновой группы каинова.

Согласно лемме Грюна, центр факторгруппы $G/Z(G)$ каиновой группы $G$ по её центру тривиален.

Если матричная группа является каиновой, то она унимодулярна, то есть каждый её элемент является унимодулярной матрицей. Это следует из того, что определитель ${\rm {det}}\colon {\rm {GL}}_{n}(R)\to R^{\times }$ — гомоморфизм из полной линейной группы над произвольным коммутативным кольцом $R$ в мультипликативную группу этого кольца, являющуюся абелевой.

Связная группа Ли является каиновой тогда и только тогда, когда для её алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ выполняется соотношение ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}^{2}$.

Этимология

Название понятия отсылает к убийству Авеля Каином. Согласно одному из определений, группа каинова, если тривиальна её абелианизация (названа в честь Нильса Хенрика Абеля). «Абель» — другая форма имени «Авель».

Термин предложен Александром Дмитриевичем Вентцелем и Владимиром Яковлевичем Лином.

Литература

• Постников, М. М. Лекции по геометрии. Семестр 5: Группы и алгебры Ли (рус.). — 1. — Наука, 1982. — 447 с.

Ссылки

• Лин, В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и пространства // Итоги науки и техники. Серия «Алгебра. Топология. Геометрия». — 1979. — Т. 17. — С. 159–227.