Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S+. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что группа движений[англ.] является подгруппой проективной группы.

Красная дуга окружности является геодезической в дисковой модели Пуанкаре. Она проектируется на коричневую геодезическую на зелёном гиперболоиде.

Квадратичная форма Минковского

править

Если   являются векторами в (n + 1)-мерном координатном пространстве  , квадратичная форма Минковского определяется как

 

Вектора  , такие, что  , образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист  , где   и нижний, или прошлое, лист  , где  . Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего  .

Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,

 

Или в явном виде,

 

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства   задаётся формулой  ,

где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.

Прямые

править

Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с

 
 
 

и используем w как параметр для точек на геодезической, то

 

будет точкой на геодезической[1].

Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Движения

править

Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O+(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO+(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S+ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида

 

где   принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,

 

Группа SO+(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.

История

править
  • Согласно Джереми Грею (1986)[5] Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы  [6]. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах Пуанкаре[7]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Пуанкаре»[англ.].
  • Также Хомершем Кокс в 1882[8][9] использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению  , а также соотношению  . Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Кокс»[англ.].

Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение   на  , координаты Вейерштрасса точки   равны

 

что можно сравнить с выражением

 

для модели полусферы[11].

Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Александр Макфарлейн[англ.] в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

 

где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов[англ.] путём использования алгебры физики[англ.][1].

Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»[12]. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly[13].

Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»[14] упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.

В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Владимир Варичак[англ.] для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса[15].

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Macfarlane, 1894.
  2. Killing, 1878, с. 72-83.
  3. Killing, 1880, с. 265-287.
  4. Killing, 1885.
  5. Gray, 1986, с. 271-2.
  6. Poincaré, 1881, с. 132 -138.
  7. Poincaré, 1887, с. 71-91.
  8. Cox, 1881, с. 178-192.
  9. Cox, 1882, с. 193-215.
  10. Lindemann, 1891, с. 524.
  11. Deza E., Deza M., 2006.
  12. Jansen, 1909, с. 409-440.
  13. Reynolds, 1993, с. 442-55.
  14. Scott, 1999, с. 91–127.
  15. Varićak, 1912, с. 103–127.

Литература

править
  • Killing W. Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1878. — Bd. 86. — S. 72-83.
  • Killing W. Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1880. — Bd. 89. — S. 265-287.
  • Killing W. Die nicht-euklidischen Raumformen (нем.). — 1885.