Уравнение Янга — Бакстера

Уравнение Янга — Бакстера (уравнение факторизации, уравнение треугольников) — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через $A$ ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для $R(u)$, зависимого от параметра обратимого элемента тензорного произведения алгебр $A\otimes A$ (здесь $u$ — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

$R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),$

на функцию $R$, в которую указанным образом подставлены две переменные $u$ и $v$. При некоторых $u$ $R(u)$ может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

$R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),$

на функцию $R$, где $R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$, $R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$, и $R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$, для всех величин параметра $w$, и $\phi _{12}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$, $\phi _{13}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$, и $\phi _{23}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$, являются морфизмами алгебры, определёнными как

$\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,$

$\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,$

$\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.$

В некоторых случаях детерминант^{[неоднозначно]} $R(u)$ может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра $u=u_{0}$, и иногда $R(u)$ даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через $A$ ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для $R$, обратимого элемента тензорного произведения алгебр $A\otimes A$. Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

$R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},$

где $R_{12}=\phi _{12}(R)$, $R_{13}=\phi _{13}(R)$, и $R_{23}=\phi _{23}(R)$.

Пусть $V$ — модуль над $A$. Пусть $T:V\otimes V\to V\otimes V$ линейная карта, удовлетворяющая $T(x\otimes y)=y\otimes x$ для всей $x,y\in V$. Тогда представление группы кос, $B_{n}$, может быть построено на $V^{\otimes n}$ $\sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}$ для $i=1,\dots ,n-1$, где ${\check {R}}=T\circ R$ на $V\otimes V$. Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.

Литература

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv:math-ph/0606053.
• Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.