Алгебра над кольцом

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения

Пусть $K$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль $A$ над кольцом $K$ , в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом $K$ ) $f\colon A\times A\rightarrow A$ определено произведение согласно равенству $ab=f(a,b)$ , называется алгеброй над $K$ или $K$ -алгеброй.

Согласно определению, для всех $k,\;l\in K$ и $a,\;b,\;c\in A$ справедливы соотношения:

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , где $1$ — единица кольца $K$

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для $a$ , $b\in A$ коммутатор определён равенством $[a,b]=ab-ba$ . $K$ -алгебра называется коммутативной, если $[a,b]=0$ .

Для $a,b,c\in A$ ассоциатор определён равенством $(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$ . $K$ -алгебра называется ассоциативной, если $(a,b,c)=0$ .

Если существует элемент $e\in A$ такой, что $ea=ae=a$ для всех $a\in A$ , то $e$ называется единицей алгебры $A$ , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ требуют более слабое: $k(ab)=(ka)b$ .

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na$ (где $n$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n$ копий $a$ . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения $f$ выбрать полилинейное отображение $g:A^{n}\rightarrow A$ и определить произведение согласно правилу: $a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$ , то полученная алгебраическая структура называется $n$ -алгеброй.

Свободная алгебра

Если алгебра $A$ над коммутативным кольцом $K$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом $K$ . Если алгебра $A$ имеет конечный базис, то алгебра $A$ называется конечномерной.

Если $K$ является полем, то, по определению, $K$ -алгебра является векторным пространством над $K$ , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают $e_{1},\dots ,e_{n}$ . Если алгебра имеет единицу $e$ , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают $e_{0}=e$ . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}

.

А именно, если $a=a^{k}e_{k}$ , $b=b^{k}e_{k}$ , то произведение можно представить в виде:

ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

.

Величины $C_{ij}^{k}\in K$ называются структурными константами алгебры $A$ .

Если алгебра коммутативна, то:

C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}

.

Если алгебра ассоциативна, то:

C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}

.

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$ .

Отображение алгебры

Возможно рассматривать алгебру $A$ над коммутативным кольцом $K$ как модуль $A$ над коммутативным кольцом $K$ . Отображение $f:A\rightarrow B$ алгебры $A$ над коммутативным кольцом $K$ в алгебру $B$ над кольцом $K$ называется линейным, если:

f(a+b)=f(a)+f(b)

,

f(ka)=kf(a)

.

для любых $a$ , $b\in A$ , $k\in K$ . Множество линейных отображений алгебры $A$ в алгебру $B$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$ .

Линейное отображение $f:A\rightarrow B$ алгебры $A$ в алгебру $B$ называется гомоморфизмом, если $f(ab)=f(a)f(b)$ для любых $a,b\in A$ , а также выполнено условие: если алгебры $A$ и $B$ имеют единицу, то:

f(e_{A})=e_{B}

.

Множество гомоморфизмов алгебры $A$ в алгебру $B$ обозначается символом $H(A;B)$ .

Очевидно, что $H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)$ .

Примеры

Общие:

алгебры квадратных матриц
алгебры многочленов
алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

Литература

Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.