Алгебра (универсальная алгебра)

Алгебра (универсальная алгебра) — множество $A$ , называемое носителем алгебры, снабжённое набором $n$ -арных алгебраических операций на $A$ , называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если $\varphi :A\rightarrow A'$ — гомоморфизм алгебр, а $\theta$ — ядерная конгруэнция $\varphi$ (то есть $\theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}$ ), то факторалгебра $A/\theta$ изоморфна $A'$ .

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов $\mathbf {Aut} A$ , моноид эндоморфизмов $\mathbf {End} A$ , решётка подалгебр $\mathbf {Sub} A$ , решётка конгруэнций $\mathbf {Con} A$ , в частности, показано, что для любой группы $G$ и решёток $L_{0}$ и $L_{1}$ существует такая универсальная алгебра $A$ , что $G\cong \mathbf {Aut} A$ , $L_{0}\cong \mathbf {Sub} A$ , $L_{1}\cong \mathbf {Con} A$ .

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

См. также

Теоремы об изоморфизме

Литература

Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М.: Наука, 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии