Гиперболические числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и $j^{2}=1,$ причём j ≠ ±1.

Определение

Алгебраическое определение

Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x,y).$ Сложение и умножение определяются по правилам:

$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),$

$(x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').$

Числа вида $(a,0)$ отождествляются с вещественными числами, а $j=(0,1).$ Тогда соответствующие тождества принимают вид:

$(x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),$

$(x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').$

Матричное представление

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

$j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},$

$x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.$

Арифметические операции

• Сложение:

  $(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.$

• Вычитание:

  $(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.$

• Умножение:

  $(a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.$

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  ${\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}-d^{2}}}j.$

Свойства

$\mathrm {e} ^{jx}=\operatorname {ch} x+j\operatorname {sh} x,$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

$\operatorname {sh} jx=j\operatorname {sh} x$

$\operatorname {ch} jx=\operatorname {ch} x$

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид $a\cdot (1\pm j).$

Если взять $\alpha =(1+j)/2$ и $\beta =(1-j)/2,$ то

$\alpha \beta =0,$ $\alpha ^{2}=\alpha$ и $\beta ^{2}=\beta .$

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма $\alpha x+\beta y,$ где $x$ и $y$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.

Литература

на русском языке

• Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии (рус.). — М., 1963. — 192 с.

на других языках

• Bencivenga, Uldrico (1946) «Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo», Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR: 0021123.
• Walter Benz (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) «Spacetime numbers the easy way», Mathematics and Computer Education 34: 159—168.
• N. A. Borota and T. J. Osler (2002) «Functions of a spacetime variable», Mathematics and Computer Education 36: 231—239.
• K. Carmody, (1988) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions», Appl. Math. Comput. 28:47-72.
• K. Carmody, (1997) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions — further results», Appl. Math. Comput. 84:27-48.
• William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Works, A. W. Tucker editor, page 392, «Further Notes on Biquaternions»
• V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83-115, link from Project Euclid.
• De Boer, R. (1987) «An also known as list for perplex numbers», American Journal of Physics 55(4):296.
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118-29.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1994) «Double and dual numbers», Encyclopaedia of Mathematics, Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
• Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, pp 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 Шаблон:Mr
• C. Musès, «Applied hypernumbers: Computational concepts», Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211—226.
• C. Musès, «Hypernumbers II—Further concepts and computational applications», Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45-66.
• Olariu, Silviu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1-16, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7.
• Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) «Fundamental theorems of algebra for the perplexes», The College Mathematics Journal 40(5):322-35.
• J. Rooney. Generalised Complex Numbers in Mechanics // Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators / Marco Ceccarelli and Victor A. Glazunov. — Springer, 2014. — Vol. 22. — P. 55–62. — ISBN 978-3-319-07058-2. — doi:10.1007/978-3-319-07058-2_7.