Уравнение Линдблада

Уравнение Линдблада (реже: уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, англ. GKSL equation или уравнение англ. FGKSL equation: Franke — Gorini — Kossakowski — Lindblad — Sudarshan, связанное с именем В. А. Франке) — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности $\rho$. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Витторио Горини, Анжеем Коссаковским, Джорджем Сударшаном и Йёраном Линдбладом.

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

${\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}[V_{k}\rho ,V_{k}^{\dagger }]+[V_{k},\rho V_{k}^{\dagger }]{\big )},$

где $\rho$ — матрица плотности, $H$ — оператор Гамильтона, $V_{k}$ — некие операторы. Если операторы $V_{k}$ равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

${\frac {d}{dt}}A=-{\frac {1}{i\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{\big )},$

где $A$ — квантовая наблюдаемая. Если операторы $V_{k}$ равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой $A$ переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений, в которой операторы $V_{k}$ имеют вид: $V_{kl}=\hbar \gamma {\sqrt {{\tilde {\rho }}_{kk}}}|k\rangle \langle l|$ (для удобства записи матричный индекс $\ k$ заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

${\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+\gamma ({\tilde {\rho }}-\rho ),$

где ${\tilde {\rho }}$ — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами ${\tilde {\rho }}_{kk}$, такими, что $\operatorname {Tr} {\tilde {\rho }}=1$, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Литература

• Isar A., Sandulescu A., Scutaru H., Stefanescu E., Scheid W. Open quantum systems // Int. J. Mod. Phys. — 1994. — № 3. — С. 635—714.
• Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. — New York: Springer Verlag, 2002. (недоступная ссылка)
• Alicki R., Lendi K. Quantum Dynamical Semigroups and Applications. — Berlin: Springer Verlag, 1987.
• Attal S., Joye A., Pillet C.-A. Open Quantum Systems: The Markovian Approach. — Springer, 2006.
• Ingarden R. S., Kossakowski A., Ohya M. Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. — New York: Springer Verlag, 1997.
• Lindblad G. Non-Equilibrium Entropy and Irreversibility. Delta Reidel,. — Dordrecht, 1983. — ISBN 1-40-200320-X.
• Tarasov V. E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. — Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science, 2008.
• Weiss U. Quantum Dissipative Systems. — Singapore: World Scientific, 1993.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 192 с. — ISBN 5-93972-207-5.
• Квантовые случайные процессы и открытые системы: Сб. статей 1982—1984 / Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 223 с.
• Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. — М.: РХД, 2010. — 223 с. Архивная копия от 19 февраля 2010 на Wayback Machine