Непрерывная функция

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение

Пусть $D\subset \mathbb {R}$ и $f:D\to \mathbb {R}$. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке $x_{0}\in D$.

• Определение через предел: функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$, предельной для множества $D$, если $f$ имеет предел в точке $x_{0}$, и этот предел совпадает со значением функции $f(x_{0})$:

  $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

• Определение, использующее ε-δ-формализм: функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}\in D$, если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для любого $x\in D$,

  $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента $x$ удовлетворять условию $0<\left\vert x-a\right\vert$, то есть быть отличными от а.

• Определение, использующее o-символику: функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$, если

  $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$, при $\delta \to 0$.

• Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция $f$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция $f$ класса $C^{0}$ и пишут: $f\in C^{0}(E)$ или, подробнее, $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$.

Точки разрыва

Запрос «Точка разрыва» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если $A$ — значение функции $f$ в точке $a$, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с $A$. На языке окрестностей условие разрывности функции $f$ в точке $a$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки $A$ области значений функции $f$, что как бы мы близко не подходили к точке $a$ области определения функции $f$, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки $A$.

Классификация точек разрыва в ℝ¹

Классификация разрывов функций $f:X\to Y$ зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в $\mathbb {R}$ различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

• 
  Устранимый разрыв
• 
  Разрыв типа «скачок»
• 
  Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».
• 
  Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

$\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)$,

то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва функции $f$ (при отсутствии $f(a)$ — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию $f$ в точке устранимого разрыва и положить $f(a):=\lim \limits _{x\to a}f(x)$, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если

$\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)$, и пределы конечны.

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

$\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty$ или $\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty$.

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в ℝⁿ, n>1

Для функций $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ и $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$, то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что $f(x)\to \infty$, каким путём бы он ни рос.
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в $\mathbb {R}$ считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке $a$, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и $f(a)>0$ (или $f(a)<0$), то $f(x)>0$ (или $f(x)<0$) для всех $x$, достаточно близких к $a$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$ и $f\cdot g$ тоже непрерывны в точке $a$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$ и при этом $g(a)\neq 0$, то функция $f/g$ тоже непрерывна в точке $a$.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и функция $g$ непрерывна в точке $b=f(a)$, то их композиция $h=g\circ f$ непрерывна в точке $a$.

Глобальные

• Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции $f$, непрерывной на отрезке $[a,b]$, является отрезок $[\min f,\ \max f],$ где минимум и максимум берутся по отрезку $[a,b]$.
• Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\cdot f(b)<0,$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=0$.
• Теорема о промежуточном значении: если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и число $\varphi$ удовлетворяет неравенству $f(a)<\varphi <f(b)$ или неравенству $f(a)>\varphi >f(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=\varphi$.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке $[a,b]$ непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами $f(a)$ и $f(b)$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, причем $f(a)<g(a)$ и $f(b)>g(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=g(\xi ).$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
• График непрерывной на отрезке функции является кривой.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ задаваемая формулой

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$

непрерывна в любой точке $x\neq 0.$ Точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

$\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).$

Функция знака

Функция

$f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке $x\neq 0$.

Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, причём

$\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)$,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда, определяемая как

$f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

является всюду непрерывной, кроме точки $x=0$, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке $x=0$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

$f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Основная статья: Функция Дирихле

Функция

$f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Основная статья: Функция Римана (ТФДП)

Функция

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ {\text{НОД}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел ($\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$, то с необходимостью $n_{k}\to \infty$). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Основная статья: Равномерная непрерывность

Функция $f$ называется равномерно непрерывной на $E$, если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для любых двух точек $x_{1}$ и $x_{2}$ таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta$, выполняется $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Каждая равномерно непрерывная на множестве $E$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция $f$ называется полунепрерывной снизу в точке $a$, если для любого $\varepsilon >0$ существует такая окрестность $U_{E}(a)$, что $f(x)>f(a)-\varepsilon$ для всякого $x\in U_{E}(a)$;
• функция $f$ называется полунепрерывной сверху в точке $a$, если для любого $\varepsilon >0$ существует такая окрестность $U_{E}(a)$, что $f(x)<f(a)+\varepsilon$ для всякого $x\in U_{E}(a)$.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и уменьшить значение $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке $a$;
• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и увеличить значение $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке $a$.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если $f(a)=-\infty$, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке $a$;
• если $f(a)=+\infty$, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке $a$.

Односторонняя непрерывность

Функция $f$ называется непрерывной слева (справа) в точке $x_{0}$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция $f$ такова, что она непрерывна всюду на $E$, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.