Колебание функции на множестве — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек , .
Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.
Определение
правитьВеличина называется колебанием функции на множестве .
Если теперь фиксировать , то можно определить колебание функции на множестве ; функция является невозрастающей функцией при и ограниченной снизу, поэтому она
- либо имеет конечный предел при ,
- либо для любого будет .
Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке[1].
Связанное определение
правитьВеличина называется колебанием функции в точке .
Свойства
править- Функция непрерывна в точке , предельной для множества тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:
- .
- Функция непрерывна на множестве тогда и только тогда, когда для любого существует элемент базы , колебание на котором будет меньше чем заданное :
- .
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Зорич В. В. Математический анализ, часть 1. — МЦНМО, 2002. — С. 153, 179. — ISBN 5940570569. Архивировано 13 февраля 2023 года.
Ссылки
правитьДля улучшения этой статьи по математике желательно:
|