Функция Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Функция Дирихле́ — функция, принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.

Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах

Определение

Символически, функция Дирихле $D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}$ определяется следующим образом:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {I} .\end{cases}}$

Свойства

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций:

$D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)$.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.

Не является интегрируемой в смысле Римана. Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщения

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также «функцией Тома» (Thomae).

Литература

• Jose Ferreiros. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — 2013. — 440 с.
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд.. — Физматлит, 2003. — Т. 1.
• С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
• Dirichlet-function  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics.
• В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
• William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
• В. А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. — 10-е изд., исправленное. — Москва: МЦНМО, 2019.

Ссылки

• Dirichlet Function — from MathWorld