Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.
Тороидальная система координат
(
α
,
β
,
φ
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\varphi )}
декартовы координаты :
x
=
c
s
h
α
cos
φ
c
h
α
−
cos
β
y
=
c
s
h
α
sin
φ
c
h
α
−
cos
β
z
=
c
sin
β
c
h
α
−
cos
β
{\displaystyle x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad y={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}}
где
c
>
0
{\displaystyle c>0}
x
2
+
y
2
=
c
2
,
z
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0}
α
=
α
0
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const} }
α
0
→
∞
{\displaystyle \alpha _{0}\rightarrow \infty }
0
⩽
α
<
∞
{\displaystyle 0\leqslant \alpha <\infty }
x
=
0
,
y
=
0
{\displaystyle x=0,\,y=0}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
−
π
<
β
⩽
π
,
−
π
<
φ
⩽
π
{\displaystyle -\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi }
Формулы перехода из тороидальных координат
(
α
(
z
,
r
)
,
β
(
z
,
r
)
,
φ
)
{\displaystyle (\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )}
цилиндрические координаты
(
z
,
r
,
φ
)
{\displaystyle (z,r,\varphi )}
r
=
c
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
z
=
c
sin
β
c
h
α
−
cos
β
.
{\displaystyle r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}.}
Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки
(
z
,
r
,
φ
)
{\displaystyle (z,r,\varphi )}
R
±
=
r
2
+
z
2
±
2
c
r
{\displaystyle R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr}}}
r
=
c
,
z
=
0
{\displaystyle r=c,\,z=0}
κ
2
(
α
)
=
1
−
e
−
2
α
=
4
r
c
R
+
2
,
κ
′
=
e
−
α
=
R
−
R
+
,
sin
β
=
2
z
c
R
−
R
+
{\displaystyle \kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\prime }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+}}}}
В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты
(
ρ
,
β
,
φ
)
{\displaystyle (\rho ,\beta ,\varphi )}
z
=
ρ
s
i
n
β
r
=
c
+
ρ
c
o
s
β
{\displaystyle z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta }
(в англоязычной литературе такие координаты называют англ. tubal , а не англ. toroidal ). В этом случае циклические координаты
β
,
φ
{\displaystyle \beta ,\,\varphi }
токамак , помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности
r
=
c
,
z
=
0
{\displaystyle r=c,\,z=0}
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
β
{\displaystyle \beta }
ρ
≡
R
−
{\displaystyle \rho \equiv R_{-}}
u
{\displaystyle u}
2
κ
′
(
u
)
≈
ρ
/
c
{\displaystyle 2\kappa ^{\prime }(u)\approx \rho /c}
[ 1] топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление
плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных
α
{\displaystyle \alpha }
ρ
{\displaystyle \rho }
α
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \alpha =\mathrm {const} }
торы
(
x
2
+
y
2
−
c
c
t
h
α
)
2
+
z
2
=
(
c
s
h
α
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({\frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}}
β
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \beta =\mathrm {const} }
сферы
(
z
−
c
c
t
g
β
)
2
+
x
2
+
y
2
=
(
c
sin
β
)
2
{\displaystyle (z-c\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta }}\right)^{2}}
φ
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \varphi =\mathrm {const} }
полуплоскости
x
cos
φ
=
y
sin
φ
{\displaystyle {\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}}
править
g
i
j
=
(
c
2
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
0
0
0
c
2
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
0
0
0
c
2
s
h
2
α
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
)
,
g
i
j
=
(
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
c
2
0
0
0
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
c
2
0
0
0
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
c
2
s
h
2
α
)
.
{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm {sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.}
Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной .
Квадрат линейного элемента:
d
s
2
=
c
2
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
(
d
α
2
+
d
β
2
+
s
h
2
α
d
φ
2
)
{\displaystyle ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})}
Квадрат элемента площади:
d
S
2
=
c
4
(
c
h
α
−
cos
β
)
4
(
(
d
α
d
β
)
2
+
s
h
2
α
(
d
α
d
φ
)
2
+
s
h
2
α
(
d
β
d
φ
)
2
)
{\displaystyle dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d\beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \,d\varphi )^{2})}
d
V
=
c
3
s
h
α
(
c
h
α
−
cos
β
)
3
d
α
d
β
d
φ
{\displaystyle dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}d\alpha \,d\beta \,d\varphi }
h
α
=
h
β
=
c
c
h
α
−
cos
β
,
h
φ
=
c
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
{\displaystyle h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }},\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}}
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
α
,
β
,
φ
)
=
c
3
s
h
α
(
c
h
α
−
cos
β
)
3
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )}}={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}}
Γ
i
j
1
=
(
0
−
sin
β
c
h
α
−
cos
β
0
−
sin
β
c
h
α
−
cos
β
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
0
0
0
s
h
α
(
c
h
α
cos
β
−
1
)
c
h
α
−
cos
β
)
,
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},}
Γ
i
j
2
=
(
sin
β
c
h
α
−
cos
β
−
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
0
−
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
0
0
0
0
s
h
2
α
sin
β
c
h
α
−
cos
β
)
,
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},}
Γ
i
j
3
=
(
0
0
−
1
(
c
h
α
−
cos
β
)
s
h
2
α
0
0
−
sin
β
c
h
α
−
cos
β
−
1
(
c
h
α
−
cos
β
)
s
h
2
α
−
sin
β
c
h
α
−
cos
β
0
)
.
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.}
править
Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:
grad
U
(
α
,
β
,
φ
)
=
c
h
α
−
cos
β
c
(
∂
U
∂
α
e
→
α
+
∂
U
∂
β
e
→
β
+
1
s
h
α
∂
U
∂
φ
e
→
φ
)
.
{\displaystyle \operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c}}\left({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta }}{\vec {e}}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }\right).}
div
F
=
(
c
h
α
−
cos
β
)
2
c
2
s
h
α
(
∂
F
α
∂
α
+
∂
F
β
∂
β
+
s
h
α
∂
F
φ
∂
φ
)
−
c
h
α
−
cos
β
c
2
s
h
α
(
F
α
s
h
α
−
F
β
sin
β
)
{\displaystyle \ \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta }}+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \beta )}
Δ
u
=
(
c
h
α
−
cos
β
)
3
c
2
s
h
α
(
∂
∂
α
(
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
∂
u
∂
α
)
+
∂
∂
β
(
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
∂
u
∂
β
)
+
1
(
c
h
α
−
cos
β
)
s
h
α
∂
2
u
∂
φ
2
)
{\displaystyle \Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}
править
Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:
(
∂
∂
α
(
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
∂
u
∂
α
)
+
∂
∂
β
(
s
h
α
c
h
α
−
cos
β
∂
u
∂
β
)
+
1
(
c
h
α
−
cos
β
)
s
h
α
∂
2
u
∂
φ
2
)
=
0
{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=0}
Решение удобно искать в виде:
u
=
v
2
c
h
α
−
2
cos
β
{\displaystyle u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta }}}
тогда уравнение для функции
v
{\displaystyle v}
v
α
α
+
v
β
β
+
v
α
c
t
h
α
+
1
4
v
+
1
s
h
2
α
v
φ
φ
=
0
{\displaystyle v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0}
После чего можно разделить переменные:
v
=
A
(
α
)
B
(
β
)
Φ
(
φ
)
{\displaystyle v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )}
В результате получится система:
{
A
″
+
c
t
h
α
A
′
+
(
1
4
−
k
φ
2
s
h
2
α
−
k
β
2
)
A
=
0
B
″
+
k
β
2
B
=
0
Φ
″
+
k
φ
2
Φ
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {k_{\varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}}
В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.
Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М. : Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М. : Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732—733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1 . 
