Тетрация

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году^[1].

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа $a>0$ и неотрицательного целого числа $n\geqslant 0$ , тетрацию ${}^{n}a$ можно определить рекуррентно:

${}^{0}a=1,$
${}^{n}a=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.$

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

{}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.

Или:

{}^{5}2=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

2^{2^{2^{2}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{8}=256.

Или:

2^{2^{2^{2^{2}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2^{16}=65536.

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

\scriptstyle {\lim \limits _{n\to \infty }{^{n}x}}

. Бесконечное возведение в степень для основания

\scriptstyle {(1/e)^{e}\leqslant x\leqslant e^{1/e}}

.

Предел ${}^{n}x$ при $\scriptstyle {n\to \infty }$ является положительным вещественным решением уравнения $y=x^{y}$ (то есть, $x=y^{1/y}$ ). Предела ${}^{n}x$ не существует, когда $\scriptstyle {x>e^{1/e}}$ , так как максимум функции $y^{1/y}$ это $e^{1/e}$ . Поэтому значений для $\scriptstyle {x>e^{1/e}}$ нет. Предел неопределён, когда $\scriptstyle {0\leqslant x<e^{-e}}$ , так как вид функции на этом промежутке зависит от того, какое число n — чётное или нечётное. Так, например, когда n чётное, предел в нуле равен 1, а когда n нечётное, предел равен 0 (это следует из того, что $\lim \limits _{x\to 0^{+}}{}^{2}x=1$ ).

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

сложение:
$a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{b};$
умножение:
$a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{b};$
возведение в степень:
$a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a} _{b};$
тетрация:
${^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}.$

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).

Тетрация это один из примеров функции с гиперболическим ростом, тоесть абсолютная скорость роста значения пропорциональна квадрату значения, это выглядит так: $({}^{x}n)'={({}^{x}n)}^{2}$ , проще говоря рост увеличевается с дополнительным ускорением. Для функции ${}^{n}x$ верно следующее: ${({}^{n}x)}^{2}>({}^{n}x)'>{}^{n}x$ .

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$ , например: ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2)}}=4^{4^{4}}=4^{256}$ , но ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32}$ .
${}^{b+c}a$ не равно ни ${}^{b}a+{}^{c}a$ , ни ${}^{b}a\times {}^{c}a$ , например: ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1}3\times {}^{2}3$ , так как ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\times {}^{2}3=81$ .

Примечание: однако, верно $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{b}{({}^{b+c}a)}={}^{c}a$ или $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a}}}}} _{c}{({}^{b+c}a)}={}^{b}a$ .

Тетрация минус единицы равна минус единице:

${^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1)}}}}}} _{n}=-1,n>0$

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.^[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)^[3].
Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)^[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
Термин «степенная башня» (англ. power tower)^[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка $n$ » для $\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{n}$ .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$	Тетрация
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$	Итерационные экспоненты
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$	Вложенные экспоненты (также башни)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях $a$ есть основание, и количество появляющихся $a$ есть высота. В третьем выражении, $n$ есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	${}^{n}a$	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	$a{\uparrow \uparrow }n$	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	$a\to n\to 2$	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	${}^{n}2=\mathrm {A} (4,\;n-3)+3$	Допускает особый случай $a=2$ в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)^[6]	$\mathrm {uxp} _{a}n,\quad a^{\frac {n}{}}$
Система записи гипероператорами	$a^{(4)}n,\quad \mathrm {hyper} _{4}(a,\;n)$	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	`a^^n`	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (`^`), оператор тетрация может быть записан в виде (`^^`).
Массивная нотация Бауэрса, Бауэрса/Бёрда^[7]	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

\exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}} _{n}.

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	$\exp _{a}^{n}(x)$	Система записи $\exp _{a}(x)=a^{x}$ и итерационная система записи $f^{n}(x)$ была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)	${}^{n}(a,\;x)$	Допускает использование больших выражений в основании.^[8]
ASCII (добавочный)	`a^^n@x`	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	`exp_a^n(x)`	Основана на стандартной форме записи.
Infinity barrier notation	${}^{n}a\|x$	Джонатан Бауэрс придумал это ^[9], и это можно подставить к более высоким гипероперациям

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть $3^{3^{3^{3}}}$ ) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$	${}^{5}x$
1	1	1	1	1
2	4	16	65 536	$\exp _{10}^{2}(4{,}29509)$
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{10}^{3}(1{,}09902)$	$\exp _{10}^{4}(1{,}09902)$
4	256	$\exp _{10}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{10}^{3}(2{,}18726)$	$\exp _{10}^{4}(2{,}18726)$
5	3125	$\exp _{10}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{10}^{3}(3{,}33928)$	$\exp _{10}^{4}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{10}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{10}^{3}(4{,}55997)$	$\exp _{10}^{4}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{10}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{10}^{3}(5{,}84259)$	$\exp _{10}^{4}(5{,}84259)$
8	16 777 216	$\exp _{10}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{10}^{3}(7{,}18045)$	$\exp _{10}^{4}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{10}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{10}^{3}(8{,}56784)$	$\exp _{10}^{4}(8{,}56784)$
10	10 000 000 000	$\exp _{10}^{3}(1)$	$\exp _{10}^{4}(1)$	$\exp _{10}^{5}(1)$

Примечание: Если $x$ не отличается от 10 по порядку величины, то для всех $k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'$ с высокой точностью выполняется $z'\approx z$ . Например, для основания $x=3$ при $m=4$ и $k=3$ получаем $z-z'<1.5\cdot 10^{-15}$ , и разность становится значительно меньше для значений $x>3$ .

Открытые проблемы

Неизвестно, может ли ${^{n}q}$ быть рациональным числом, если $n$ — целое число, большее 3, а $q$ — рациональное, но не целое число (для $n=2,\,3$ ответ отрицателен)^[10].
Ни для какого целого $n>3$ не известно, является ли положительный корень уравнения ${^{n}x}=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Примечания

↑ Goodstein R. L. Transfinite ordinals in recursive number theory (неопр.) // Journal of Symbolic Logic^[англ.]. — 1947. — Т. 12. — doi:10.2307/2266486.
↑ Bromer N. Superexponentiation (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1987. — Vol. 60, no. 3. — P. 169—174. Архивировано 27 января 2017 года.
↑ Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
↑ MacDonnell J. F. Somecritical points of the hyperpower function $\scriptstyle {x^{x^{\dots }}}$ (англ.) // International Journal of Mathematical Education : journal. — 1989. — Vol. 20, no. 2. — P. 297—305.
↑ Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Hooshmand M. H. Ultra power and ultra exponential functions (неопр.) // Integral Transforms and Special Functions^[англ.]. — 2006. — Т. 17, № 8. — С. 549—558. — doi:10.1080/10652460500422247.
↑ Источник (неопр.). Дата обращения: 20 января 2013. Архивировано 21 октября 2014 года.
↑ Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.
↑ cite web |title=Spaces |url=http://www.polytope.net/hedrondude/spaces.htm Архивная копия от 8 апреля 2024 на Wayback Machine |access-date=17 February 2022
↑ Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, «A rational number of the form a^a with a irrational», Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106—109. (неопр.) Дата обращения: 28 апреля 2013. Архивировано 6 мая 2014 года.

Ссылки

Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
Форум по обсуждению тетрации.
Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.

[1] Goodstein R. L. Transfinite ordinals in recursive number theory (неопр.) // Journal of Symbolic Logic^[англ.]. — 1947. — Т. 12. — doi:10.2307/2266486.

[2] Bromer N. Superexponentiation (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1987. — Vol. 60, no. 3. — P. 169—174. Архивировано 27 января 2017 года.

[3] Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.

[4] MacDonnell J. F. Somecritical points of the hyperpower function $\scriptstyle {x^{x^{\dots }}}$ (англ.) // International Journal of Mathematical Education : journal. — 1989. — Vol. 20, no. 2. — P. 297—305.

[5] Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[uxp-6] Hooshmand M. H. Ultra power and ultra exponential functions (неопр.) // Integral Transforms and Special Functions^[англ.]. — 2006. — Т. 17, № 8. — С. 549—558. — doi:10.1080/10652460500422247.

[7] Источник (неопр.). Дата обращения: 20 января 2013. Архивировано 21 октября 2014 года.

[8] Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.

[9] cite web |title=Spaces |url=http://www.polytope.net/hedrondude/spaces.htm Архивная копия от 8 апреля 2024 на Wayback Machine |access-date=17 February 2022

[10] Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, «A rational number of the form a^a with a irrational», Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106—109. (неопр.) Дата обращения: 28 апреля 2013. Архивировано 6 мая 2014 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]