Теорема Гудстейна — теорема математической логики о натуральных числах, доказанная Рубеном Гудстейном в 1944 году[1]. Утверждает, что так называемые последовательности Гудстейна заканчиваются нулём. В 1982 году Л. Кирби и Джефф Парис показали, что теорема Гудстейна недоказуема в арифметике первого порядка[2][3]. Тем не менее она может быть (и была) доказана, например, в арифметике второго порядка.

Формулировка

править

Рассмотрим представление целых положительных чисел в виде суммы степенных членов с одинаковым основанием.

Например, запишем число 581, используя основание 2:

 

Разложим показатели степени по тому же принципу:

 

Подобное разложение можно получить для любого числа.

Будем рекурсивно применять к получившемуся выражению следующую операцию:

  1. увеличение «основания» на 1 и вычитание 1 из самого числа.

Таким образом, после применения первой операции (меняем 2 на 3 и вычитаем единицу из числа) будет получено выражение

 

После второй (меняем 3 на 4 и вычитаем единицу из числа):

 

После третьей (меняем 4 на 5 и вычитаем единицу из числа):

 

Теорема Гудстейна утверждает, что в конце концов всегда будет получен 0.

Примеры

править

Рассмотрим пример последовательности Гудстейна для чисел 1, 2 и 3.

Число Основание Запись Значение
1 2 1 1
3 1 - 1 0
2 2 21 2
3 31 − 1 2
4 2 - 1 1
5 1 − 1 0
3 2 21 + 1 3
3 (31 + 1) − 1 = 31 3
4 41 − 1 = 1 + 1 + 1 3
5 (1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1 2
6 (1 + 1) − 1 = 1 1
7 1 − 1 = 0 0

Вариации и обобщения

править

Верно и более сильное утверждение: Если прибавлять вместо 1 какое-то произвольное число к основанию и его же отнимать от самого числа, то всегда будет получаться 0 даже в том случае, когда показатели степеней не разложены изначально по основанию 2.

Последнее основание в качестве дискретной функции от исходного числа растёт очень быстро, и уже при   оно достигает значения  . При   оно всегда будет числом Вудала[4].

Примечания

править
  1. Goodstein, R. (1944), "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic, 9: 33—41
  2. Kirby, L.; Paris, J. (1982), "Accessible independence results for Peano arithmetic" (PDF), Bulletin London Mathematical Society, 14: 285—293, Архивировано из оригинала (PDF) 25 августа 2011 Архивная копия от 25 августа 2011 на Wayback Machine
  3. Роджер Пенроуз. Большое малое и человеческий разум. Приложение 1.
  4. Рассмотрим представление числа в виде  , где   — наше основание. Когда останется только коэффициент при  , равный единице, обозначим значение этого    . После этого при   число превращается в   Нетрудно показать, что в ходе дальнейшей эволюции каждое снижение коэффициента при   на 1 удваивает k. Последним значением основания станет  .