Гипероператор

Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее).

В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет обратную функцию — гиперкорень и "определитель" — гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратная операция и "определитель" обобщаются для гипероператора любого порядка.

История

Исторически первым гипероператором является функция Аккермана (1928), сконструированная как пример всюду определённой не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функции от трёх аргументов $\varphi (a,b,n)$ такой, что для $n=0,1,2$ она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

$\varphi (a,b,0)=a+b$,

$\varphi (a,b,1)=a\cdot b$,

$\varphi (a,b,2)=a^{b}$;

в стрелочной нотации Кнута:

$\varphi (a,b,n)=a\uparrow ^{n-1}(b+1)$.

Впоследствии Гудстейном были разработаны последовательности функций, более аккуратно реализующие концепцию гипероператоров.

Определение

Гипероператор порядка $n$ с аргументами $a$ и $b$ (далее обозначаемый как $a^{(n)}b$) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка $n-1$ к последовательности из $b$ одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен $a$):

• сложение $a$ и $b$ — увеличение числа $a$ на количество единиц, равное $b$: $a{^{(1)}}b=a+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b}=a+b$
• умножение $a$ на $b$ — сложение числа $a$ с самим собой $b$ раз: $a{^{(2)}}b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}=a\times b$
• возведение a в степень b — умножение числа $a$ на само себя $b$ раз: $a{^{(3)}}b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b}=a^{b}$
• $...$
• $a{^{(n)}}b=\underbrace {a^{(n-1)}a^{(n-1)}\dots a^{(n-1)}a} _{b}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка $n>2$ не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных $a$, $b$ и $n$ ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров $n\geqslant 4$ на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по-разному; Кнут использует стрелки $\uparrow$, Конвей использует стрелки $\to$:

$a{^{(n)}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)$.

Свойства

Для $n>2$ верно, что у функции в которой показателем n-ой гипероперации служит переменная x, абсолютная скорость роста пропорциональна значению в (n-2)-ой степени, тоесть скорость роста увеличивается с помощью (n-2)-ого количества ускорений (взаимодействующих между собой операций): $(m^{(n)}x)'\sim (m^{(n)}x)^{n-2}$

• $(m^{(3)}x)'=(m^{x})'\sim {m}^{x}$ экспоненциальный рост
• $(m^{(4)}x)'=({}^{x}m)'\sim ({}^{x}m)^{2}$ гиперболический рост
• $(m^{(5)}x)'\sim (m^{(5)}x)^{3}$
• ...

Для функции в которой переменная служит основанием гипероперации можно придти к этому: $(x^{(n)}m)^{n-2}>(x^{(n)}m)'>x^{(n)}m$ Следовательно:

• ${(x^{m})>(x^{m})'>(x^{m})}$
• $({}^{m}x)^{2}>({}^{m}x)'>{}^{m}x$
• $(x^{(5)}m)^{3}>(x^{(5)}m)'>x^{(5)}m$
• ...

У функции вида ${m^{(x)}n}$ переменная служит количеством этих ускорений - с изменением переменной меняется количество операций ускоряющих эту функцию: $(m^{(x)}n)'\sim {(m^{(x)}n)^{x}}$. Рост такой функции настолько быстрый, что опережает рост функций с любым количеством ускорений. В быстрорастущей иерархии ${m^{(x)}n}$ примерно равна $f_{\omega }(n)$ где ω это первый трансфинитный ординал

Альтернативные операции

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с гипероператором при $n<4$:

• $a+b=(a+(b-1))+1$,
• $a\times b=(a\times (b-1))+a$,
• $a^{b}=(a^{(b-1)})\times a$.

Для гипероператора $n\geqslant 4$ вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для $n=4,a=3,b=3$ получим гипероператор тетрацию: $3\uparrow ^{2}3={}^{3}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7{\text{ }}625{\text{ }}597{\text{ }}484{\text{ }}987$.

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу: $3^{3^{3}}\neq \left(3^{3}\right)^{3}=3^{3^{2}}=3^{9}=19{\text{ }}683$.

Литература

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68—73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.