Теорема Юнга

Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве. Названо в честь Генриха Юнга.

Формулировка

Пусть $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ — компактное множество диаметра $d$; то есть,

$d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|p-q\|\}$

Тогда существует замкнутый шар с радиусом

$r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},$

который содержит $K$. Равенства достигается для правильного n-симплекса.

2-мерный случай

Наиболее распространенным является случай плоскости, то есть $n=2$. В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

$r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Это неравенство достигается для равностороннего треугольника

$r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Вариации и обобщения

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества $K$ в любом метрическом пространстве выполняется

${\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d$

Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d, центрированный в любой точке $K$, будет содержать все $K$.

В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах, таких как расстояние городских кварталов на плоскости.

См. также

• Неравенство Юнга

Литература

• Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — (выпуск 10 серии "Библиотека математического кружка").