Неравенство Юнга

Нера́венство Ю́нга — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка

Пусть $a,b\geqslant 0$ и $p,q>\!\ 1$ — сопряженные показатели (то есть такие числа, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$). Тогда

$ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$.

Равенство достигается в том и только том случае, когда $a^{p}=b^{q}$.

Доказательство

Для $a=0$ или $b=0$ неравенство очевидно. Для $a>0$, $b>0$ неравенство следует из выпуклости вверх логарифмической функции: для любых $x_{1}$, $x_{2}>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$.

Положив в этом неравенстве $\alpha =p^{-1},~\beta =q^{-1},~x_{1}=a^{p},~x_{2}=b^{q}$, получим, что

$\ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln(a^{p})}{p}}+{\frac {\ln(b^{q})}{q}}=\ln \left(ab\right)$,

откуда следует неравенство Юнга.

Альтернативный вариант

Можно показать, что неравенство Юнга является частным случаем неравенства Юнга — Фенхеля, которое для скалярной функции записывается в виде:

$f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x,$

где $f^{\star }(y)=\max _{x}\left\lbrace xy-f(x)\right\rbrace$ — преобразование Лежандра от функции $f(x)$. Если положить $f(x)={\frac {x^{p}}{p}}$, то преобразование Лежандра в точке $y=x^{p-1}$ даёт

$f^{\star }(y)=xy-{\frac {x^{p}}{p}}={\frac {y^{q}}{q}},$

где ${\frac {1}{q}}=1-{\frac {1}{p}}$. Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

См. также

• Теорема Юнга