Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств $L^{p}$ .

Формулировка

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой, а $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство функций вида $f:X\to \mathbb {R}$ с конечной интегрируемой $p$ ‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}

,

где $p\geq 1$ , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть $f\in L^{p}$ , а $g\in L^{q}$ , где $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ . Тогда $f\cdot g\in L^{1}$ , и

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

.

Доказательство

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть $X$ — пространство с мерой $\mu$ , $E\subset X$ , $E$ измеримо. Тогда:
$f\in L^{p},g\in L^{q},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|g|^{q}\,d\mu \right)^{1/q}$
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{1/p}b^{1/q}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Положим
$a={\dfrac {|f(x)|^{p}}{\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu }}\quad b={\dfrac {|g(x)|^{q}}{\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu >0$

Применяя неравенство, получаем:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {|f(x)|^{p}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{q}}{q\cdot I_{2}}}\right)$

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству $E$ (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по $E$ , получаем:
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}$
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если $I_{1}$ или $I_{2}$ равен 0, то это значит, что $f$ или $g$ эквивалентны нулю на $E$ , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив $p=q=2$ , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства $L^{2}$ .

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E=\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$ . $L^{p}$ -норма в этом пространстве имеет вид:

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }

,

и тогда

\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x,y\in E

.

Пространство l^p

Пусть $X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m$ — счётная мера на $\mathbb {N}$ . Тогда множество всех последовательностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , таких что:

\|x\|_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

,

называется $l^{p}$ . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}

.

Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство. Тогда $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ состоит из случайных величин с конечным $p$ -м моментом: $\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$ , где символ $\mathbb {E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

\mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}

.

См. также

Литература

Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.