Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

править

Пусть на ориентируемом многообразии   размерности   заданы положительно ориентированное ограниченное  -мерное подмногообразие   ( ) и дифференциальная форма   степени   класса  . Тогда если граница подмногообразия   положительно ориентирована, то

 

где   обозначает внешний дифференциал формы  .

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия  .

Частные случаи

править

Пусть дана кривая   (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки   к точке  , в многообразии произвольной размерности. Форма   нулевой степени класса   — это дифференцируемая функция  . Тогда формула Стокса записывается в виде

 

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть   — плоскость, а   — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах   и   — это выражение   Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области   верно

 

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

править

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть   — кусочно-гладкая поверхность ( ) в трёхмерном евклидовом пространстве ( ),   — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура   равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность  , ограниченную контуром:

 

или в координатной записи:

 

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Пусть теперь   — кусочно-гладкая гиперповерхность ( ), ограничивающая некоторую область   в  -мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области  :

 

В трёхмерном пространстве   с координатами   это эквивалентно записи:

 

или

 

Литература

править

См. также

править