Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. -мерная группа когомологий де Рама многообразия обычно обозначается .

Гладкие многообразия

править

Определения

править

Через коцепной комплекс

править

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии   с внешним дифференциалом   в качестве дифференциала.

 

Здесь   — пространство гладких функций на  ,   — пространство 1-форм, то есть   — пространство  -форм. Заметим, что  .  -мерная группа когомологий   этого коцепного комплекса является его мерой точности в  -м члене и определяется как

 
  • Форма   называется замкнутой, если  , в этом случае  .
  • Форма   называется точной, если  , для некоторой  , то есть  .

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

править

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы   и   в   называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность   является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в  .

Когомологическим классом   формы   называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от   на точную форму — то есть множество форм вида  .

 -мерная группа когомологий де Рама   — это факторгруппа всех замкнутых форм в   по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия  , имеющего   связных компонент,

 

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

править

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если   — замкнутая  -форма, а   и   — гомологичные  -цепи (то есть   является границей  -мерной цепи  ), то

 

поскольку их разность есть интеграл

 

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама   в группу сингулярных когомологий  . Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

 

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп   структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях   задаёт  -умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

править

Определение

править

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием   над полем   связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия   называются группы когомологий  .

Частные случаи когомологий де Рама

править
где   — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию  .
  • Например, если   — дополнение к алгебраической гиперповерхности в  , то когомологии   могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на   с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

править

Для любого морфизма   можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

 

приводящий к относительным когомологиям де Рама  .

В случае, если многообразие   является спектром кольца  , а  , то относительный комплекс де Рама совпадает с  .

Когомологии   комплекса пучков   на   называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли   — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на  .

Литература

править
  • Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4..
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. — 343 с.
  • де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5..