Ограниченность

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Исходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел $B\subset \mathbb {R}$, для которого существуют числа $m,M\in \mathbb {R}$ такие, что для любого $x$ из $B$ имеет место: $m\leqslant x\leqslant M$, иными словами, $B$ целиком лежит в отрезке $[m,M]$. Числа $m$ и $M$ называются в этом случае нижней и верхней границей множества $X$ соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.

Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси $[a,b]$ (где $a,b$ — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел $\mathbb {Z}$ — неограниченно; множество $\mathbb {N}$ натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Ограниченная числовая функция — функция $f\colon D\to \mathbb {R}$, область значений которой $f(D)$ ограниченна, то есть существует такое $m$, что для всех $x$ имеет место неравенство $|f(x)|\leqslant m$. В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность $(a_{i})$, для которой существует $m\in \mathbb {R}$ такое, что для всех $i\in \mathbb {N}$ выполнено $|a_{i}|\leqslant m$.

Обобщения

Обобщения числовой ограниченности на более общие категории пространств могут различаться. Так, на подмножества произвольных частично упорядоченных множествах числовое определение переносится естественным образом (поскольку для определения требуется только отношение порядка).

В топологическом векторном пространстве $E$ над полем $k$ ограниченным считается всякое множество $B$, поглощаемое любой окрестностью нуля, то есть если существует такое $\alpha \in k$, что $B\subset \alpha U_{0}$. Ограниченный оператор на топологических векторных пространствах переводит ограниченные множества в ограниченные.

В случае произвольного метрического пространства $(M,d)$ ограниченными считаются множества конечного диаметра, то есть $B\subseteq M$ ограниченно, если $\mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\}$ конечно. При этом ввести понятия ограниченности сверху и снизу в общих метрических пространствах невозможно.

Более специальное понятие, распространяющееся на произвольные метрические пространства — вполне ограниченность; в случае числовых множеств и в евклидовых пространствах это понятие совпадает с соответствующими понятиями ограниченного множества. В метрических пространствах топологическая компактность эквивалентна одновременной вполне ограниченности и полноте, и, хотя на произвольные топологические пространства понятие ограниченности не распространяется, компактность в общем случае можно считать некоторым аналогом ограниченности.

Литература

• Ограниченное множество — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский