Теорема Дирихле о единицах

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых ${\mathcal {O}}_{K}$ числового поля $K$.

Формулировка

Пусть $K$ — числовое поле (т. е., конечное расширение $\mathbb {Q}$), а ${\mathcal {O}}_{K}$ — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов ${\mathcal {O}}_{K}$ равен $d=r+s-1$, где $r$ — число различных вложений $K$ в поле вещественных чисел $\mathbb {R}$, а $s$ — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в $\mathbb {C}$, не являющихся чисто вещественными.

Замечания

• Другими словами, в кольце ${\mathcal {O}}_{K}$ поля $K$ степени $n=r+2s$ существуют такие единицы $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$, что каждая единица $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ однозначно представляется в виде

  $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

где $a_{1},...,a_{d}$ - целые числа, а $\zeta$ - некоторый корень из 1, содержащийся в ${\mathcal {O}}_{K}$

• Единицы $\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{d}$, существование которых устанавливает теорема Дирихле, называются основным единицами кольца ${\mathcal {O}}_{K}$.

• Если $K=\mathbb {Q} (\theta )$, где $\theta$ — корень неприводимого многочлена $f(x)$, имеющего корни $\theta _{1},...,\theta _{n}$, то вложение $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ - вещественное тогда и только тогда, когда $\theta _{i}$ - действительный корень уравнения $f(x)=0$.

Схема доказательства

По условию есть $r$ вещественных изоморфизмов $\sigma _{1},...,\sigma _{r}$ и $2s$ комплексных $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{r+s}$. Для доказательства элементы поля изображаются в двух пространствах: линейном $L$ и логарифмическом $A$.

$L$ - пространство строк вида $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$, где $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ с покомпонентным сложением и умножением. Определим $x:K\to L$ как $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),...,\sigma _{r+s}(\alpha ))$, вложение инъективно. В $L$ образ поля $K$ представляет собой некоторую дискретную решётку - множество элементов вида $a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n}$, где $a_{j}\in \mathbb {Z}$, а $e_{i}$ - некоторый базис решётки.

Пространство $A$ устроено так: $l:L\to A$, $l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$, $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$, $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$. $l(xy)=l(x)+l(y)$ - переводит умножение в сложение. Если $N(\alpha )$ - норма $\alpha$, то $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$.

Далее рассматривается группа единиц (обратимых элементов) $E$ поля $K$. Множество $W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\}$ - группа по умножению. Если $l(\alpha )=0$, то $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$, т.е. множество $x(W)$ ограничено, значит оно конечно, значит $W$ состоит из корней из 1 и является подгруппой $E$. Если же $\varepsilon$ - произвольная единица, то $N(\varepsilon )=1$, $\ln |N(\varepsilon )|=0$, $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$. Это уравнение определяет гиперплоскость ${\mathcal {L}}$ размерности $r+s-1$. Образ $l(x(E))$ - решётка в $A$, так как $l(x(E))$ - группа по сложению и дискретна как непрерывный образ дискретной решётки $x(E)$.

Таким образом, любая единица $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$, $\zeta$ - корень из 1, $d\leqslant r+s-1$. Остается доказать, что ранг $E$ равен именно $r+s-1$, или что $l(x(E))$ - полная решётка в ${\mathcal {L}}$. Решётка в пространстве полна тогда и только тогда в пространстве есть ограниченное множество, сдвиги которого на все векторы решётки полностью заполняют все пространство. Для доказательства используется лемма Минковского о выпуклом теле. В качестве тела леммы берется множество $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,...,s$ в $L$. Его объём равен $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$. Применение леммы Минковского дает следующее следствие:

Если объём основного параллелепипеда, натянутого на базисные векторы решётки $x({\mathcal {O}}_{K})$, равен $\Delta$ и числа $c_{k}>0$ таковы, что $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$, то в решётке $x({\mathcal {O}}_{K})$ есть ненулевой вектор $x$ такой, что $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,...,s$.

Для любого $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0$, имеем $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$. Обозначим ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ - гиперплоскость, параллельная ${\mathcal {L}}$. Пусть ${\bar {\lambda }}^{0}\in {\mathcal {I}}$ - произвольна, а $c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k}$. Если $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ - достаточно велико, то $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$, и значит по следствию выше из леммы Минковского существует $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ такое, что $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}<c_{r+k},k=1,...,s$, то есть $N(\alpha )<Q$, $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$.

Обозначим для произвольного $\alpha :N(\alpha )<Q$ вышеупомянутое множество $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ как $Y_{\alpha }$. Ясно, что все множества $Y_{\alpha }$ ограничены. $Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$, т.е. $Y_{\alpha \varepsilon }$ получается сдвигом $Y_{\alpha }$ на вектор $l(\varepsilon )$

В ${\mathcal {O}}_{K}$ существует только конечное число попарно неассоциированных чисел $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$, нормы которых по модулю меньше $Q$, то есть если $N(\alpha )<Q$, то $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ для какой-то единицы $\varepsilon$. Поскольку $Y_{\alpha }$ покрывают все ${\mathcal {I}}$, а $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )$, значит сдвиги ограниченного множества $Y=Y_{\alpha _{1}}\cup ...\cup Y_{\alpha _{N}}$ на все векторы $l(\varepsilon )$ покроют все ${\mathcal {I}}$. Значит сдвиги ограниченного множества $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ на все векторы $l(\varepsilon )$ покроют все ${\mathcal {L}}$, что доказывает теорему.

Вариации и обобщение

• Поскольку для расширения степени n выполнено $r+2s=n$, то $d\leqslant n-1$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения $K$ в $\mathbb {C}$ чисто вещественные.

• Группа единиц поля исчерпывается корнями из 1 тогда и только тогда, когда $r+s=1$, т.е. для $K=\mathbb {Q}$ и для $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ — мнимого квадратичного расширения. Во всех остальных случаях всегда имеется как минимум одна основная единица.

• Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля $x^{2}-my^{2}=1$ выводится из этой теоремы, применённой к $\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})$ — квадратичному расширению $\mathbb {Q}$.

• Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан с многомерными цепными дробями.

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 131.