Уравнение Пелля

В математике уравнение Пелля — диофантово уравнение вида

x^{2}-ny^{2}=1,

где $n$ — натуральное число, не являющееся квадратом.

Простейшие свойства

Пары $(\pm 1,\,0)$ всегда являются решениями, называемыми тривиальными.
Ввиду симметрии достаточно найти все решения с положительными $x$ и $y$ .
Если $n$ является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на параметр $n$ .

Эквивалентные формулировки и связь с теорией полей

Пара $(x,y)$ является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа $x+y{\sqrt {n}}$ в расширении $\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})$ поля $\mathbb {Q}$ равна единице:

N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2}.

В частности, решению соответствует единица кольца $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ . Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как «умножать», так и «делить»: решениям $(x_{1},\;y_{1})$ и $(x_{2},\;y_{2})$ можно поставить в соответствие решения

(x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},\;-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).

Кроме того, существование нетривиальных решений таким образом может быть выведено из теоремы Дирихле о единицах (утверждающей в данном случае, что ранг группы единиц кольца целых расширения $\mathbb {Q} ({\sqrt {n}})$ равен 1).

Связь с цепными дробями

Легко видеть, что при больших $x$ и $y$ , являющихся решениями уравнения Пелля, отношение $x/y$ должно быть близким к ${\sqrt {n}}$ . Оказывается, что верно и более сильное утверждение: такая дробь должна быть подходящей дробью для ${\sqrt {n}}$ , и имеет место следующий критерий:

Числитель и знаменатель подходящей дроби для ${\sqrt {n}}$ являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер этой подходящей дроби нечётен и сравним с $-1$ по модулю $P$ , где $P$ — период цепной дроби для ${\sqrt {n}}$ .

История

Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика VII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю.

См. также

Теорема Матиясевича
Десятая проблема Гильберта
Метод «чакравала» — метод нахождения наименьшего нетривиального решения.
Цепная дробь

Литература

Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0.
Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Учпедгиз, 1960.
Ван дер Варден. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев // УМН. — 1976. — Т. 31, вып. 5(191). — С. 57—70.
Сендеров В., Спивак А. Уравнения Пелля (часть I) // Квант. — 2002. — № 3. — С. 2—9.
Спивак А. Уравнения Пелля (часть II) // Квант. — 2002. — № 4. — С. 5—11.
Спивак А. Уравнения Пелля (часть III) // Квант. — 2002. — № 6. — С. 10—15.

Ссылки