Солитон

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитон
Первооткрыватель или изобретатель	Рассел, Джон Скотт
Дата открытия (изобретения)	1834
Медиафайлы на Викискладе

График «тёмного солитона»

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех. Кроме того, в отличие от гармонических волн, классические солитоны помимо переноса энергии осуществляют также перенос вещества (сдвиг в направлении своего движения на конечное расстояние).

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave».

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы. Свойство солитонов переносить вещество предложено использовать в качестве одного из механизмов возбуждения электрических токов в плазме и разделения вещества и антивещества в ранней Вселенной.

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости (первые солитоны, обнаруженные в природе), иногда считают таковыми волны цунами и бор
• ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме
• гравитационные солитоны в слоистой жидкости
• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера
• можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы
• солитоны в нелинейно-оптических материалах
• солитоны в воздушной среде

Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Распад синусоидальной волны на солитоны, наблюдавшийся Забуски и Крускалом при численном решении уравнения КдФ

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

$u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0$

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

$u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\mathrm {ch} ^{2}\,\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}}$

где $2\varkappa ^{2}$ — амплитуда солитона, $\varphi$ — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна $\varkappa ^{-1}$. Такой солитон движется со скоростью $v=4\varkappa ^{2}$. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при $t\to \pm \infty$ решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

$u(x,t)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x,t)$

где матрица $A(x,t)$ даётся выражением

$A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}}{\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}}\mathrm {e} ^{8\varkappa _{n}^{3}t-(\varkappa _{n}+\varkappa _{m})x}$

Здесь $\beta _{n},n=1,\dots ,N$ и $\varkappa _{n}>0,n=1,\dots ,N$ — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

$-\partial _{x}^{2}\psi (x)+u(x)\psi (x)=E\psi (x)$

с потенциалом $u(x)$, убывающим на бесконечности быстрее чем $|x|^{-1-\varepsilon }$, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени $t$.

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при $t\to -\infty$ решение имеет асимптотический вид $N$ солитонов, тогда при $t\to +\infty$ оно также имеет вид $N$ солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы $k$-го солитона равен

$\Delta \varphi _{k}=\sum _{\stackrel {n=1}{n\neq k}}^{N}\Delta \varphi _{nk}$

Пусть $n$-й солитон движется быстрее, чем $m$-й, тогда

$\Delta \varphi _{n}^{+}=\Delta \varphi _{kn}={\frac {1}{\varkappa _{n}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|$

$\Delta \varphi _{k}^{-}=\Delta \varphi _{nk}=-{\frac {1}{\varkappa _{m}}}\ln \left|{\frac {\varkappa _{n}+\varkappa _{m}}{\varkappa _{n}-\varkappa _{m}}}\right|$

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину $\Delta \varphi _{n}^{+}$, а фаза более медленного — уменьшается на $\Delta \varphi _{k}^{-}$, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

$iu_{t}+u_{xx}+\nu \vert u\vert ^{2}u=0$

при значении параметра $\nu >0$ допустимы уединённые волны в виде:

$u\left(x,t\right)=\left({\sqrt {\frac {2\alpha }{\nu }}}\right)\mathrm {ch} ^{-1}\left({\sqrt {\alpha }}(x-Ut)\right)e^{i(rx-st)},$

где $r,s,\alpha ,U$ — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

$U=2r$

$s=r^{2}-\alpha$

Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона.

См. также

• Модель Френкеля — Конторовой
• Ионно-звуковые солитоны
• Волновой пакет
• Кинк
• Уравнение синус-Гордона
• Уравнения Дэви — Стюартсона
• Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
• Уравнение Габитова — Турицына

Литература

• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
• Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
• Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
• Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
• Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. — М.: Физматлит, 2003. — 304 с. — ISBN 5-9221-0344-X.
• Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
• Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
• Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
• Барьяхтар В. Г., Захаров В. Е., Черноусенко В. М. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка, 1990. — 472 с. — 1000 экз. — ISBN 5-12-001120-9.
• Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner. Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.
• Focus: Landmarks—Computer Simulations Led to Discovery of Solitons (англ.) // Physics. — 2013. — Vol. 6. — P. 15. — doi:10.1103/Physics.6.15.

Ссылки

• Примеры типов солитонов
• А может, все мы состоим из солитонов?
• СОЛИТОН. Энциклопедия «Кругосвет»