Коэффициент прохождения

В нерелятивистской квантовой механике коэффициент прохождения и коэффициент отражения используются для описания вероятности прохождения и отражения волн, падающих на барьер. Коэффициент прохождения представляет собой отношение потока прошедших частиц к потоку падающих частиц. Он также используется для описания вероятности прохождения через барьер (туннелирование) частиц.

Электромагнитная или иная волна при падении на границу раздела двух сред частично проходит и частично отражается

Коэффициент прохождения определяется в терминах тока вероятности j согласно:

$T={\frac {|j_{t}|}{|j_{i}|}},$

где $j_{i}$ — ток вероятности падающей на барьер волны и $j_{t}$ — ток вероятности волны прошедшей барьер.

Коэффициент отражения R определяется аналогично как $R={\frac {|j_{r}|}{|j_{i}|}}$, где $j_{r}$ — ток вероятности волны отражённой от барьера. Сохранения вероятности, а в данном случае оно эквивалентно сохранению числа частиц накладывает условие на коэффициенты прохождения и отражения $T+R=1$.

Для примера смотрите Туннелирование через прямоугольный барьер или Надбарьерное отражение.

ВКБ приближение

Основная статья: Квазиклассическое приближение

Используя ВКБ приближение, можно получить туннельный коэффициент, который записывается в виде:

$T={\frac {e^{-2\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\left(1+{\frac {1}{4}}e^{-2\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}\right)^{2}}}$ ,

где $x_{1},x_{2}$ — две классические точки поворота для потенциального барьера. Если мы возьмём классический предел, где все остальные физические параметры намного больше постоянной Планка, записанный как $\hbar \rightarrow 0$, то мы увидим, что коэффициент прохождения стремится к нулю. Этот классические предел нарушается в случае нефизического (в силу неприменимости квазиклассического приближения), но более простого случая прямоугольного барьера.

Если коэффициент прохождения много меньше 1, формулу можно записать в виде:

$T\approx 16{\frac {E}{U_{0}}}(1-{\frac {E}{U_{0}}})e^{-2L{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(U_{0}-E)}}}$

где $L=x_{2}-x_{1}$ — длина потенциального барьера.

См. также

Туннелирование через дельтообразный потенциал

Ссылки

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.