Признаки сходимости

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Здесь $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Необходимое условие сходимости рядов

Основная статья: Необходимое условие сходимости рядов

Если с ростом $n$ предел члена ряда $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ не существует или не равен нулю, то ряд расходится.

Следовательно, условие $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимости

См. также: Категория:Признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными или просто положительными.

Критерий сходимости знакоположительных рядов

Основная статья: Критерий сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительный ряд $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ ограничена сверху.

Признак сравнения с мажорантой

Основная статья: Признак сравнения

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известно.

Пусть даны два знакоположительных ряда: $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$. Если, начиная с некоторого номера ($n>N$), выполняется неравенство: $0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}$, то: из сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$; из расходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ следует расходимость и ряда$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$.

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все $|a_{n}|\leqslant |b_{n}|$, то и ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится абсолютно.

Пример. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots$

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

$1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\cdots$

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

$S_{n}=1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)=2-{1 \over n}$

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале $(1,2)$.

Признак Раабе

Основная статья: Признак Раабе

Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши.

Если для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ существует предел: $R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),$ то при $R>1$ ряд сходится, а при $R<1$ — расходится. Если $R=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Интегральный признак Коши — Маклорена

Основная статья: Интегральный признак Коши — Маклорена

Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.

Пусть функция $f(x)$ определена при $x\geqslant 1$, неотрицательна, монотонно убывает и $f(n)=a_{n}$. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и несобственный интеграл: $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}f(x)\,dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

${\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\dots$

Для него порождающая функция имеет вид: $1/x^{s}$. Вычислим интеграл:

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{s}}}\,dx={\frac {1}{s-1}},$ если $s>1$, или $\infty ,$ если $s\leqslant 1.$ Вывод: данный ряд сходится при $s>1$ и расходится при $s\leqslant 1$.

Признак Гаусса

Основная статья: Признак Гаусса

Пусть для знакоположительного ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ отношение ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ может быть представлено в виде: ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}},$ где $\lambda ,\mu$ — постоянные, а последовательность $\{\theta _{n}\}$ ограничена. Тогда: ряд сходится, если либо $\lambda >1,$ либо $\lambda =1,\mu >1;$ ряд расходится, если либо $\lambda <1,$ либо $\lambda =1,\mu \leqslant 1.$

Признак Куммера

Основная статья: Признак Куммера

Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков.

Пусть даны знакоположительный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и последовательность положительных чисел $\{c_{n}\}$ такая, что ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ расходится. Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство: $K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta ,$ где $\delta$.— положительная постоянная, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится. Если же, начиная с некоторого номера, $K_{n}\leqslant 0,$ то ряд расходится.

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим $K=\lim _{n\to \infty }K_{n},$ тогда в случае $K>0$ ряд сходится, а при $K<0$ — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

• При $c_{n}=1$ — признак Даламбера;
• При $c_{n}=n$ — признак Раабе;
• При $c_{n}=n\,\mathrm {ln} \,n$ — признак Бертрана.

Признак Бертрана

Основная статья: Признак Бертрана

Если для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ существует предел: $B=\lim _{n\to \infty }\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right),$ то при $B>1$ ряд сходится, а при $B<1$ — расходится. Если $B=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак Даламбера

Основная статья: Признак Даламбера

Этот признак также известен как критерий Даламбера. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов.

Если существует $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r,$ то: если $r<1,$ то ряд абсолютно сходится; если $r>1,$ то ряд расходится; если $r=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Пример. Исследуем сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\infty }n!\left({\frac {x}{n}}\right)^{n},$ где $x>0.$ Вычислим предел:

$r=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}x}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {x}{e}}$

Следовательно, ряд сходится при $x<e$ и расходится при $x>e.$ Случай $x=e$ следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают ($(1+1/n)^{n}<e$, поэтому ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1,$) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Основная статья: Радикальный признак Коши

Если существует $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=r,$ то: если $r<1,$ то ряд сходится, причём абсолютно; если $r>1,$ то ряд расходится; если $r=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно.

Пример. Исследуем ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {C}{a_{n}}}\right)^{n},$ где $C>0,\{a_{n}\}$ — последовательность положительных чисел, причём $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A.$

$r=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left({\frac {C}{a_{n}}}\right)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {C}{a_{n}}}={\frac {C}{A}}.$

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

• Если $0<A<+\infty ,$ то при $C<A$ ряд сходится, при $C>A$ — расходится, при $C=A$ определённый вывод сделать нельзя.
• Если $A=0,$ то ряд расходится.
• Если $A=+\infty ,$ ряд сходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Этот признак также называют критерий Лейбница.

Пусть для знакочередующегося ряда: $S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$, где $a_{n}\geqslant 0$, выполняются следующие условия: последовательность $\{a_{n}\},$ начиная с некоторого номера ($n>N$) монотонно убывает: $a_{n+1}\leqslant a_{n}$; $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$ Тогда такой ряд сходится.

Признак Абеля

Основная статья: Признак Абеля

Числовой ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}$ сходится, если выполнены следующие условия: Последовательность $\{a_{n}\}$ монотонна и ограничена. Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}$ сходится.

Признак Дирихле

Основная статья: Признак Дирихле

Пусть выполнены условия: последовательность частичных сумм $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ ограничена; последовательность $a_{n}$, начиная с некоторого номера, монотонно убывает: $a_{n}\geqslant a_{n+1}$; $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ сходится.

Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего.

Вариации и обобщения

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема. Пусть $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Также аналогично, если $0<a_{n}<1$, то $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение.

Литература

• Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

Ссылки

• Матвеева Т. А., Светличная В. Б., Короткова Н. Н. Числовые ряды  (неопр.). Дата обращения: 22 сентября 2020.
• Признаки сходимости ряда  (неопр.). Дата обращения: 22 сентября 2020.