Знакочередующийся ряд

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n},\;b_{n}>0$.

Признак Лейбница

Формулировка

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

$S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0$,

для которого выполняются следующие условия:

1. $b_{n}\geq b_{n+1}$, начиная с некоторого номера ($n\geq N$),
2. $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0.$

Тогда такой ряд сходится.

Замечания

Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ — необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}$ сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\dots +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\dots$

Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

Доказательство

Доказательство

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда $R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}$ и $L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}$.

Первая последовательность не убывает: $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$ по первому условию.

По тому же условию вторая последовательность не возрастает: $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$.

Вторая последовательность мажорирует первую, то есть $L_{n}\geq R_{m}$ для любых $m,n\in \mathbb {N}$. Действительно,

при $m\geq n$ имеем: $L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,$

при $m\leq n$ имеем: $L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.$

Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что: $\lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0$, поэтому они сходятся к общему пределу $S$, который и является суммой исходного ряда.

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда $S_{n}$ имеет место оценка $|S-S_{n}|<b_{n+1}$.

Пример

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\;$. Ряд из модулей имеет вид $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено
2. ${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}},\;\forall \;n$
3. $\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}=0$.

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда Лейбница

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}b_{i}.$

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда $R_{n}=S-S_{n}$ будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

$\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.$

Доказательство

Последовательность $S_{2k}$ монотонно возрастающая, так как $S_{2k}=\sum \limits _{i=2}^{i=n}{\left({b_{2i-1}-b_{2i}}\right)},$ а выражение $b_{2i-1}-b_{2i}$ неотрицательно при любом целом $i.$ Последовательность $S_{2k-1}$ монотонно убывает, так как $S_{2k+1}=S_{2k-1}-\left({b_{2k}-b_{2k+1}}\right),$ а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — $S_{2k}$ и $S_{2k-1}$ — совпадающий предел при $k\to +\infty .$ Так получено $S_{2k}\leqslant s\leqslant S_{2k-1}$ и также $s\leqslant S_{2k+1}.$ Отсюда $0\leqslant s-S_{2k}\leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}$ и $0\leqslant S_{2k-1}-s\leqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.$ Итак, для любого $k$ выполняется $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{k+1},$ что и требовалось доказать.

Знакопеременный ряд

Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными, однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.

См. также

• Признак Дирихле — обобщение признака Лейбница

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
• Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
• Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.