Поле Киллинга

По́ле Ки́ллинга (в теории относительности часто просто ве́ктор Ки́ллинга) — векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия.

Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задаёт непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых метрический тензор остаётся инвариантным.

В частности, если метрический тензор $g_{\mu \nu }$ в некоторой системе не зависит от одной из координат $x^{\mu }$, тогда векторное поле вдоль этой координаты ${\hat {e}}_{\mu }(x)\equiv \partial _{\mu }$ будет полем Киллинга.

Векторы Киллинга в физике указывают на симметрию физической модели и помогают найти сохраняющиеся величины, такие как энергия, импульс или спин. В теории относительности, например, если метрический тензор не зависит от времени, то в пространстве-времени существует времениподобный вектор Киллинга, с которым связана сохраняющаяся величина — энергия гравитационного поля.

Название дано в честь немецкого математика Вильгельма Киллинга, открывшего группы Ли и многие их свойства параллельно с Софусом Ли.

Определение

Векторное поле $X$ на $M$ называется полем Киллинга если оно удовлетворяет следующему уравнению:

${\mathcal {L}}_{X}g=0,$

где ${\mathcal {L}}_{X}$ — производная Ли по направлению $X$, a $g$ — риманова метрика на $M$.

Это уравнение можно переписать через связность Леви-Чивиты:

$g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0$

для любых полей $Y$ и $Z$.

В терминах локальных координат:

$\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.$

Свойства

• Векторное поле $X$ является полем Киллинга тогда и только тогда, когда сужение $X$ на любую геодезическую является полем Якоби.
• Для задания поля Киллинга достаточно указать его значение, плюс значения всех его (ковариантных) производных первого порядка, всего в одной точке. Из этой точки векторное поле может быть продолжено на всё многообразие.
• Скобка Ли, или коммутатор, двух полей Киллинга даёт опять поле Киллинга. Таким образом, поля Киллинга образуют подалгебру бесконечномерной алгебры Ли всех (дифференцируемых) векторных полей на многообразии. Эта подалгебра является алгеброй Ли группы движений многообразия.
• Линейная комбинация полей Киллинга тоже является полем Киллинга.
  • Иллюстрация сложения полей Киллинга на плоскости. Поле вращений вокруг начала координат + поле параллельного переноса вдоль оси y = поле вращений вокруг центра, смещённого относительно начала координат вдоль оси x:
    
    Все три поля являются полями движений плоскости.
• Если кривизна Риччи компактного многообразия отрицательна, то на нём нет нетривиальных (то есть не равных тождественно нулю) полей Киллинга.
• Если секционная кривизна компактного многообразия положительная и размерность чётная, то поле Киллинга должно иметь нуль.

Примеры

• На евклидовой плоскости существует три линейно независимых поля Киллинга:

$\xi _{1}=\mathbf {e} _{x}$, $\xi _{2}=\mathbf {e} _{y}$, $\xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.$

Первые два поля Киллинга отвечают однопараметрическим подгруппам сдвигов вдоль осей $x$ и $y$, а последнее — подгруппе вращений вокруг начала координат. Различные комбинации из этих трёх подгрупп исчерпывают всевозможные движения плоскости.

• В трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ существует шесть линейно независимых полей Киллинга:

$\xi _{x}=\mathbf {e} _{x}$, $\xi _{y}=\mathbf {e} _{y}$, $\xi _{z}=\mathbf {e} _{z},$

$\zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},$

$\zeta _{y}=-z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},$

$\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.$

• Последние три поля $\zeta _{x}$, $\zeta _{y}$ и $\zeta _{z}$ являются также полями Киллинга на сфере $\mathbf {S} ^{2}$ (это становится очевидным если рассматривать её погруженной в трёхмерное пространство).
• Однолистный гиперболоид, задаваемый уравнением $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$, погружённый в пространство Минковского с метрикой $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2}$, имеет три линейно независимых поля Киллинга, подобных полям Киллинга на сфере:

$\zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},$

$\zeta _{y}=z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},$

$\zeta _{z}=y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y}.$

Вариации и обобщения

• Конформные поля Киллинга, определяются формулой

${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$

для некоторого скаляра $\lambda$. Они являются производными однопараметрических семейств конформных отображений.

• Конформные тензорные поля Киллинга: симметричные тензорные поля $T$, такие что симметризация $\nabla T$ равна нулю.
• Антисимметричное тензорное поле Киллинга — Яно, часто представляемое, как «корень квадратный из симметричного тензорного поля Киллинга». Симметрия, описываемая тензорами Киллинга и Киллинга — Яно, существует во вращающихся чёрных дырах Керра, а также некоторых их обобщениях. Наличие подобной симметрии объясняет, почему разделяются переменные в уравнениях движения классической и квантовой релятивистской механики: Гамильтона — Якоби, волновом, Клейна — Гордона, Дирака и др.
• Тензорное поле Киллинга.

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ — М.: Наука, 1967.
• Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия — М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства — М.: Мир, 1964.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии — М.: Наука, 1981.