Симметризация и антисимметризация тензора

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора $T_{ij}$ — это симметричный тензор $\scriptstyle T_{(ij)}={1 \over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$, а антисимметризация — антисимметричный тензор $\scriptstyle T_{[ij]}={1 \over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$.

Операция симметризации:

$A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}$.

Суммирование ведётся по всем перестановкам $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

$A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})$.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

$A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operatorname {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}$.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки $\operatorname {sgn} \sigma$. Примеры:

$A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})$;

$A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m}-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})$.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель ${\frac {1}{k!}}$ в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

Свойства симметризации и антисимметризации

• Если $T_{i_{1}\ldots i_{n}}$ симметричен по $i_{1}\ldots i_{n},$ то симметризация по этим индексам совпадает с $T,$ а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности $T$ по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с $T$, а симметризация даст нулевой тензор.
• Если $T_{ij}\in V\otimes V,$ то $T_{(ij)}\in V\vee V,$ $T_{[ij]}\in V\wedge V.$ Здесь $\vee$ — симметричное, а $\wedge$ — внешнее произведение векторных пространств.