Поверхность Больцы

Поверхность Больцы (кривая Больцы) — компактная риманова поверхность рода 2 с максимальным возможным порядком конформной группы автоморфизмов для этого порядка, а именно, с группой GL₂(3) порядка 48. Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением $GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}$ порядка 96. Аффинная модель поверхности Больцы может быть получена как геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

$y^{2}=x^{5}-x$

в $\mathbb {C} ^{2}$. Поверхность Больцы является гладким расширением аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода 2, поверхность Больцы имеет наивысшую систолу. Как гиперэллиптическая риманова поверхность она возникает как разветвлённое двойное покрытие римановой сферы с точками разветвления в шести вершинах правильного октаэдра, вписанного в сферу, как можно ясно видеть из приведённой формулы.

Треугольная поверхность

Замощение поверхности Больцы отражениями области является фактором Рассечённая восьмиугольная мозаика порядка 3.

Поверхность Больцы является (2,3,8)-треугольной поверхностью (треугольник Шварца): фуксова группа, определяющая поверхность Больцы, является подгруппой группы, образованной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами ${\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}$. Эта подгруппа является подгруппой с индексом группы отражений, которая состоит из произведения чётного числа отражений, и которая имеет абстрактное представление в терминах генераторов $s_{2},s_{3},s_{8}$ и отношений $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$, а также $s_{2}s_{3}=s_{8}$. Фуксова группа $\Gamma$, определяющая поверхность Больцы, является также подгруппой (3,3,4) группы треугольника, которая является подгруппой с индексом 2 группы треугольника (2,3,8). Группа (2,3,8) не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но группа (3,3,4) — имеет.

Под действием $\Gamma$ на диск Пуанкаре фундаментальной областью поверхности Больцы является правильный восьмиугольник с углами ${\tfrac {\pi }{4}}$ в точках

$p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi }{4}}\right)}$,

где $k=0,\ldots ,7$. Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Генераторами служат матрицы:

$g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$,

где $\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$ и $k=0,\ldots ,3$, вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению:

$g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.$

См. также

• Гиперболическая кривая
• Квартика Клейна
• Поверхность Макбита

Литература

• Oskar Bolza. On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves // American Journal of Mathematics. — 1887. — Т. 10, вып. 1. — С. 47–70. — doi:10.2307/2369402. — .
• Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // Pacific J. Math.. — 2006. — Т. 227, вып. 1. — С. 95–107. — doi:10.2140/pjm.2006.227.95. — arXiv:math.DG/0501017.
• Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. — New York: Springer, 2003. — Т. 219. — (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-98386-4.