Фуксова группа

Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2,R). Группа $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости. Соответственно, фуксову группу, можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с конечным числом генераторов^[англ.], либо как подгруппа $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )$ , содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы как клейновой (дискретная группа of PSL(2,C)), которая сопряжена с подгруппой группы $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ .

Фуксовы группы используются для создания фуксовой модели римановых поверхностей. В этом случае группа может быть названа фуксовой группой поверхности. В некотором смысле, фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что и кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии. Некоторые рисунки Эшера построены на основе фуксовых групп (для дисковой модели геометрии Лобачевского).

Общие фуксовы группы первым изучал Анри Пуанкаре^[1], заинтересованный статьей Лазаруса Фукса^[2], от имени которого и происходит это название.

Фуксовы группы на верхней полуплоскости

Пусть $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ будет верхней полуплоскостью. Тогда $\mathbb {H}$ является моделью гиперболической плоскости, которая снабжена метрикой

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

Группа PSL(2,R) действует на $\mathbb {H}$ дробно-линейным преобразованием (которое известно как преобразования Мёбиуса):

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.

Это действие эффективно и фактически $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ изоморфно группе всех сохраняющих ориентацию движений of $\mathbb {H}$ .

Фуксова группа $\Gamma$ может быть определена как подгруппа группы $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ , которая действует разрывно на $\mathbb {H}$ . То есть

Для любого z в $\mathbb {H}$ орбиты ${\Gamma }z=\{{\gamma }z\colon \gamma \in \Gamma \}$ не имеют предельных точек в $\mathbb {H}$ .

Эквивалентное определение — группа $\Gamma$ фуксова, когда $\Gamma$ дискретна. Это означает, что:

Любая последовательность $\{\gamma _{n}\}$ элементов $\Gamma$ , сходящаяся к тождественному элементу в обычной топологии поточечной сходимости, в конечном счёте константна, то есть существует целое число N, такое что для любого n > N $\gamma _{n}=E$ , где E является единичной матрицей.

Хотя разрывность и дискретность эквивалентны в данном случае, это неверно для случая произвольных групп конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в противоположность $\mathbb {H}$ ). Более того, фуксова группа $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ дискретна, но имеет предельные точки на вещественной прямой Im z = 0 — элементы $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ будут иметь z = 0 для любого рационального числа, а рациональные числа $\mathbb {Q}$ плотны в $\mathbb {R}$ .

Основное определение

Дробно-линейное преобразование, определённое матрицей из $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ , сохраняет сферу Римана $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ , но посылает верхнюю полуплоскость $\mathbb {H}$ в некоторый открытый диск $\Delta$ . Преобразование, сопряжённое такому преобразованию, посылает дискретную подгруппу $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ в дискретную подгруппу группы $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ , сохраняя $\Delta$ .

Это обуславливает следующее определение фуксовой группы. Пусть $\Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ действует инвариантно на собственный открытый диск $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ , то есть, $\Gamma (\Delta )=\Delta$ . Тогда $\Gamma$ является фуксовым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных свойств:

$\Gamma$ является дискретной группой (с учётом стандартной топологии на $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ ).
$\Gamma$ действует собственно разрывно^[англ.] в каждой точке $z\in \Delta$ .
множество $\Delta$ является подмножеством области разрывности $\Omega (\Gamma )$ of $\Gamma$ .

То есть любое из этих трёх свойств может быть использовано как определение фуксовой группы, другие следуют из выбранного определения как теоремы. Понятие собственного инвариантного разрывного подмножества $\Delta$ важно. Так называемая группа Пикара^[англ.] $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ дискретна, но не сохраняет какой-либо диск в сфере Римана. Более того, даже модулярная группа $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ , которая является фуксовой группой, не действует разрывно на вещественной прямой. Она имеет предельные точки в рациональных числах. Аналогично, идея, что $\Delta$ является собственным подмножеством области разрывности важна. Если этого нет, подгруппа называется клейновой группой.

Обычно в качестве инвариантной области $\Delta$ берётся либо открытый единичный диск, либо верхняя полуплоскость.

Предельные множества

Ввиду дискретности действия орбита ${\Gamma }z$ точки z в верхней полуплоскости под действием $\Gamma$ не имеет точек сгущения в верхней полуплоскости. Могут существовать, однако, предельные точки на вещественной оси. Пусть $\Lambda (\Gamma )$ будет предельным множеством группы $\Gamma$ , то есть множество предельных точек ${\Gamma }z$ для $z\in \mathbb {H}$ . Тогда $\Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$ . Предельное множество может быть пустым или состоять из одной или двух точек, а может состоять и из бесконечного числа. В последнем случае есть два варианта:

Фуксова группа первого типа — это группа, для которой предельное множество является замкнутой вещественной прямой $\mathbb {R} \cup \infty$ . Это случается, когда факторпространство $\mathbb {H} /\Gamma$ имеет конечный объём, но имеются фуксовы группы первого рода с бесконечным кообъёмом.

В противном случае говорят, что фуксова группа имеет второй тип. Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством, то есть нигде не плотным множеством на $\mathbb {R} \cup \infty$ . Поскольку это нигде не плотное множество, из этого следует, что любая предельная точка произвольно близка к некоторому открытому множеству, не принадлежащему предельному множеству. Другими словами, предельное множество является множеством Кантора.

Тип фуксовой группы не обязательно должен быть тем же самым, если рассматривать её как клейнову группу — фактически, все фуксовы группы являются клейновыми группами второго типа, так как их предельные множества (как клейновые группы) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащихся в некотором круге.

Примеры

Пример фуксовой группы — это модулярная группа $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ . Она является подгруппой группы $\mathrm {PSL} (2,R)$ , состоящей из дробно-линейных преобразований

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

где a, b, c, d — целые числа. Факторпространство $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ является пространством модулей эллиптических кривых.

Фуксовы группы включают также группы $\Gamma (n)$ для каждого n > 0. Здесь $\Gamma (n)$ состоит из дробно-линейных преобразований вышеприведённого вида, где элементы матрицы

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

сравнимы с элементами единичной матрицы по модулю n.

Кокомпактным примером служит Группа треугольника (2,3,7) (по вращениям), содержащая все фуксовые группы квартики Клейна^[англ.] и поверхности Макбита, как и другие группы Гурвица. В общем, любая гиперболическая группа фон Дика (подгруппа группы треугольника с индексом 2, соответствующая сохраняющим ориентацию движениям) является фуксовой группой.

Все они являются фуксовыми группами первого рода.

Все гиперболические и параболические циклические подгруппы группы $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ фуксовы.
Любая эллиптческая циклическая подгруппа фуксова тогда и только тогда, когда она конечна.
Любая абелева фуксова группа циклична.
Никакая фуксова группа не изоморфна $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ .
Пусть $\Gamma$ будет неабелевой фуксовой группой. Тогда нормализатор группы $\Gamma$ в $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ фуксовы.

Метрические свойства

Если h является гиперболическим элементом, длина переноса L действия группы в верхней полуплоскости связана со следом h как $2\times 2$ матрицы отношением

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.

Аналогичное свойство имеет место для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа не имеет кручения и кокомпактна.

См. также

Литература

Lazarus Fuchs. Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Math.. — 1880. — Т. 89. — С. 151–169.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. See section 1.6 // Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group. — Providence RI: American Mathematical Society. — ISBN 978-0-8218-1392-8.
Henryk Iwaniec. See Chapter 2. // Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition. — Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. — Т. 53. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-3160-1.
Svetlana Katok. Fuchsian Groups. — Chicago: University of Chicago Press, 1992. — ISBN 978-0-226-42583-2.
David Mumford, Caroline Series, David Wright. Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-35253-6..
Peter J. Nicholls. The Ergodic Theory of Discrete Groups. — Cambridge: Cambridge University Press, 1989. — Т. 143. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-37674-7.
Henri Poincaré. Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica. — Springer Netherlands, 1882. — Т. 1. — С. 1–62. — ISSN 0001-5962. — doi:10.1007/BF02592124.
Эрнест Б. Винберг. Математическая энциклопедия / главный редактор И.М. Виноградов. — Советсткая энциклопедия, 1977. — Т. 5.

[_67ed5803ee86a9c2-1] Poincaré, 1882.

[_8dea27c95012879b-2] Fuchs, 1880.

[1]

[2]