Оператор Перрона — Фробениуса

Оператор Перрона — Фробениуса — оператор, описывающий изменение с течением времени плотности вероятности в фазовом пространстве состояний динамической системы. Назван в честь немецких математиков Фердинанда Фробениуса и Оскара Перрона.

Определение

Рассмотрим ансамбль траекторий динамической системы, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей $P(x)$ . Пусть с течением времени состояние динамической системы в фазовом пространстве изменяется $x(t)=\varphi (x,t)$ . При этом плотность вероятности изменяется: $P(x,t)=L(P(x),t)$ . Оператор $L$ называется оператором Перрона-Фробениуса^[1].

Примеры

Рассмотрим отображение $x_{n+1}=f(x_{n})$ . Пусть на $n$ -м шаге в фазовом пространстве определена плотность вероятности $p_{n}(x)$ . Тогда для плотности вероятности на следующем шаге получим: $p_{n+1}(y)=\int \delta (f(x)-y)p_{n}(x)dx=L(p_{n})$ . Здесь оператор $L$ называется оператором Перрона — Фробениуса для отображения $f(x)$ ^[2]. Он является линейным несамосопряжённым оператором.