Эрмитов оператор

В математике оператор $A$ в комплексном или действительном гильбертовом пространстве ${\mathfrak {H}}$ называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству $(Ax,y)=(x,Ay)$ для всех $x,y$ из области определения $A$. Здесь и далее полагается, что $(x,y)$ — скалярное произведение в ${\mathfrak {H}}$. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в ${\mathfrak {H}}$ называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Свойства

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

Доказательство

Для всякого собственного значения $\lambda$ по определению верно $A\left(x\right)=\lambda x$. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

$\left({A\left(x\right),x}\right)=\left({\lambda x,x}\right)=\lambda \left({x,x}\right)$

и

$\left({x,A\left(x\right)}\right)=\left({x,\lambda x}\right)={\overline {\lambda }}\left({x,x}\right)$,

откуда $\lambda ={\overline {\lambda }}$ — число $\lambda$ вещественное.

2. В унитарных конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. (В частности, в евклидовом пространстве матрица самосопряжённого оператора является симметрической.)

Доказательство

В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как $\left({x,y}\right)=\xi ^{T}{\overline {\eta }}$, где $\xi$ и $\eta$ - координатные столбцы векторов $x$ и $y$ соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения

$\left({A\left(x\right),y}\right)=\left({A\xi }\right)^{T}{\overline {\eta }}=\xi ^{T}A^{T}{\overline {\eta }}$

и

$\left({x,A\left(y\right)}\right)=\xi ^{T}{\overline {A\eta }}=\xi ^{T}{\overline {A}}{\overline {\eta }}$

Следовательно, $A^{T}={\overline {A}}$, что и есть определение эрмитовой матрицы.

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения $\lambda$ и $\mu$. Соответственно для векторов $x$ и $y$ из соответствующих им собственных подпространств выполняется $A\left(x\right)=\lambda x$ и $A\left(y\right)=\mu y$. Отсюда $\left({A\left(x\right),y}\right)=\left({\lambda x,y}\right)=\lambda \left({x,y}\right)$ равно $\left({x,A\left(y\right)}\right)=\left({x,\mu y}\right)={\overline {\mu }}\left({x,y}\right)$. Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести $\left({x,A\left(y\right)}\right)=\mu \left({x,y}\right)$. Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить $\left({\lambda -\mu }\right)\left({x,y}\right)=0$, откуда при различности собственных значений $\lambda \neq \mu$ ясно, что $\left({x,y}\right)=0$, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство $E'$ инвариантно относительно самосопряжённого преобразования $A$, то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно $A$.

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора $x$, принадлежащего подпространству $E'$, лежит в нём. Следовательно, для любого вектора $y\in \left({E'}\right)^{\bot }$ выполняется $\left({A\left(x\right),y}\right)=0$. Так как преобразование $A$ самосопряжённое, то отсюда следует, что $\left({x,A\left(y\right)}\right)=0$, то есть образ любого вектора $y$ из $\left({E'}\right)^{\bot }$ принадлежит $\left({E'}\right)^{\bot }$, что и означает, что подпространство $\left({E'}\right)^{\bot }$ инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение$\lambda _{1}$. По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е₁. Без ограничения общности можно считать, что $|e_{1}|=1$. Если n=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим Е₁ - линейную оболочку элемента е₁, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Е^n-1 - ортогональное дополнение к Е₁ . Тогда по лемме 2 Е^n-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Е^n-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Е^n-1 , поскольку Е^n-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для $\forall$х,у $\in$ Еⁿ  : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для $\forall$х,у $\in$ Е^n-1.

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение $\lambda _{2}$ и соответствующий ему собственный вектор $e_{2}$ . Без ограничения общности можно считать, что $|e_{2}|=1$. При этом $\lambda _{2}$ может случайно совпасть с $\lambda _{1}$ , однако, из построения ясно, что $(e_{1},e_{2})=0$. Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку ${(e_{1},e_{2})}$ и её ортогональное дополнение Е^n-2. Найдём новое собственное значение $\lambda _{3}$ и соответствующий ему собственный вектор $e_{3}$ и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Еⁿ .

Доказательство завершено.

4. Для эрмитова оператора А определитель det ||A|| его матрицы равен произведению собственных значений.

Матрицы

Основная статья: Эрмитово-сопряжённая матрица

Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу $A^{\dagger },$ получаемую из исходной матрицы $A$ путём её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть $(A^{\dagger })_{ij}=A_{ji}^{*}$. Это естественное определение: если записать линейное отображение и эрмитово сопряжённый ему оператор в любом базисе в виде матриц, то их матрицы будут эрмитово сопряжёнными. Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: для неё $A^{\dagger }=A$.

Применение

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также

• Сопряжённый оператор
• Самосопряжённость