Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.

Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау.

Формулировка

Пусть $A$ — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

• наибольшее по модулю собственное значение $r$ является вещественным и строго положительным;
• это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
• соответствующий $r$ собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
• собственное значение $r$ удовлетворяет неравенствам

$\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.$

См. также

• Оператор Перрона — Фробениуса

Литература

• Perron, Oskar (1907), "Zur Theorie der Matrices", Mathematische Annalen, 64 (2): 248—263, doi:10.1007/BF01449896
• Frobenius, Georg (1912), "Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 456—477
• Frobenius, Georg (1908), "Über Matrizen aus positiven Elementen, 1", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 471—476
• Frobenius, Georg (1909), "Über Matrizen aus positiven Elementen, 2", Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 514—518
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.