Логарифмические тождества

Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.

Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.

Алгебраические тождества

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

$a^{\log _{a}b}=b$

Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

$\log _{a}1=0$

$\log _{a}a=1$

$\log _{a}a^{b}=b$

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

Сводка тождеств:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
Частное от деления	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Степень	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Доказательство                                  $\log _{a}{x^{p}}=y$ $a^{y}=x^{p}$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Степень в основании	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0.1$	Доказательство                                  $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Корень	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1.5$	Доказательство                                  $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x}}$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Корень в основании	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \arctan {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{4}})}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Доказательство                                  $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $a^{y}=x^{p}$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

$\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|$

$\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|$

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

$\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})$

$\log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\dots +\log _{a}|x_{n}|$

Логарифм суммы и разности

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

$\log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b}}\right)$

$\log _{a}(b-c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b}}\right),\quad$ здесь $b>c$

Обобщение:

$\log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right)}\right)$

Замена основания логарифма

Логарифм $\log _{a}b$ по основанию $a$ можно преобразовать в логарифм по другому основанию $c$:

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Следствие (при $b=c$) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

Другие тождества

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

${\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}$

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание $a^{q}$ на $a$ по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

$\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b$

Ещё одно полезное тождество:

$c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}$

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию $a$ совпадают (равны $\log _{a}b\cdot \log _{a}c$), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию $d,$ получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

$\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c$

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

$\log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _{d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w$

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

$x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b$

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию $x.$

$\log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a}}}}$

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

${\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _{a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)}}=\log _{xy}a$

Аналитические тождества

Предельные соотношения

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)$

$\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)$

$\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}$

Производная и интеграл

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

${d \over dx}\ln x={1 \over x},$

${d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}$

Определение логарифма через определённый интеграл:

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Первообразная для логарифма:

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

$\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим $H_{n}\ n-$е по порядку гармоническое число:

$H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}$

Далее обозначим:

$x^{\left[0\right]}=\ln x$

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\ln x-H_{n});\quad$ ($n=1,2,3\dots$)

Мы получаем последовательность функций:

$x^{\left[1\right]}=x\ln x-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

и т. д. Тогда имеют место тождества:

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]};\quad$ ($n=1,2,3\dots$)

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C;\quad$ ($n=0,1,2,3\dots$)

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
• Шахмейстер А. Х. Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей. — изд. 5-е. — СПб.: МЦНМО, 2016. — 288 с. — ISBN 978-5-4439-0648-5.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Logarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.